Una lata cilíndrica contiene 20 pulgadas cúbicas de jugo de naranja congelado. El costo
por pulgada cuadrada en la fabricación de las partes superior e inferior de metal es el
triple del costo por pulgada cuadrada en la fabricación de la parte lateral de cartón.
Exprese el costo de fabricar la lata como una función del radio si el costo de la parte
lateral es 0.06 centavos por pulgada cuadrada y defina el dominio de la función obtenida

Vamos a resolver el problema paso a paso para expresar el costo de fabricar la lata como una función del radio \( r \).

### 1. **Volumen del cilindro:**
Dado que el volumen \( V \) de la lata es \( 20 \) pulgadas cúbicas, usamos la fórmula del volumen de un cilindro para relacionar el radio \( r \) y la altura \( h \) del cilindro:
\[
V = \pi r^2 h = 20
\]
De aquí, despejamos la altura \( h \):
\[
h = \frac{20}{\pi r^2}
\]

### 2. **Área de la superficie lateral:**
El área lateral del cilindro se calcula como:
\[
A_{\text{lateral}} = 2\pi rh
\]
Sustituyendo la altura \( h \) obtenida antes:
\[
A_{\text{lateral}} = 2\pi r \left(\frac{20}{\pi r^2}\right) = \frac{40}{r}
\]

### 3. **Área de las tapas superior e inferior:**
Cada tapa tiene un área de \( \pi r^2 \), por lo que el área total de las dos tapas es:
\[
A_{\text{tapas}} = 2\pi r^2
\]

### 4. **Costo de fabricación:**
- El costo por pulgada cuadrada de la parte lateral es de \( 0.06 \) centavos.
- El costo por pulgada cuadrada de las tapas es el triple, es decir, \( 0.18 \) centavos.

El costo total \( C(r) \) de fabricar la lata en función del radio \( r \) es la suma del costo de fabricar la parte lateral y las tapas:
\[
C(r) = \text{Costo lateral} + \text{Costo tapas}
\]
\[
C(r) = 0.06 \times A_{\text{lateral}} + 0.18 \times A_{\text{tapas}}
\]
Sustituyendo los valores obtenidos para las áreas:
\[
C(r) = 0.06 \times \frac{40}{r} + 0.18 \times 2\pi r^2
\]
\[
C(r) = \frac{2.4}{r} + 0.36\pi r^2
\]

### 5. **Dominio de la función:**
El dominio de la función \( C(r) \) está definido para todos los valores positivos del radio \( r \), ya que el radio no puede ser negativo ni cero en un cilindro físico.

\[
\text{Dominio}: r > 0
\]

### Resumen:
La función costo de fabricar la lata en función del radio \( r \) es:
\[
C(r) = \frac{2.4}{r} + 0.36\pi r^2
\]
con dominio \( r > 0 \).

---

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta sobre la función? Aquí tienes cinco preguntas relacionadas para explorar más el tema:

1. ¿Cómo afecta el radio \( r \) al costo total de la lata?
2. ¿Cómo se calcularía el costo total si cambiara el costo por pulgada cuadrada de la parte lateral?
3. ¿Qué valor de \( r \) minimiza el costo de fabricación de la lata?
4. ¿Cómo se relaciona la derivada de \( C(r) \) con la optimización del costo?
5. ¿Cómo influiría un cambio en el volumen de la lata en la función costo?

**Tip:** Cuando trabajas con funciones que involucran costos, encontrar el mínimo puede ayudarte a optimizar los recursos y reducir gastos.

Explore how to calculate the cost function of a cylindrical container based on its radius. This problem involves finding the volume and surface area of the cylinder and applying cost per square inch values for metal and cardboard. Suitable for high school students.

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