Resuelve por sustitucion: ∫ (
𝑥+4
𝑥
2+8𝑥+10) 𝑑x

Para resolver la integral por sustitución:

\[
\int \left(\frac{x+4}{x^2 + 8x + 10}\right) \, dx
\]

Podemos seguir estos pasos:

### Paso 1: Proponer la sustitución
Observamos que la derivada de \(x^2 + 8x + 10\) es \(2x + 8\). Esto sugiere la siguiente sustitución:

Sea \( u = x^2 + 8x + 10 \).

Entonces, la derivada de \(u\) con respecto a \(x\) es:

\[
\frac{du}{dx} = 2x + 8
\]

Despejamos \(dx\):

\[
dx = \frac{du}{2x + 8}
\]

### Paso 2: Reescribir la integral
La integral original se puede reescribir utilizando la sustitución. Primero, observamos que el numerador \(x+4\) se puede expresar como:

\[
x + 4 = \frac{1}{2}(2x + 8)
\]

Esto permite reescribir la integral como:

\[
\int \frac{\frac{1}{2}(2x + 8)}{x^2 + 8x + 10} \, dx
\]

Sustituyendo \(u\) y \(dx\):

\[
\int \frac{\frac{1}{2}(2x + 8)}{u} \cdot \frac{du}{2x + 8} 
\]

Lo que simplifica a:

\[
\frac{1}{2} \int \frac{du}{u}
\]

### Paso 3: Resolver la integral

La integral de \( \frac{1}{u} \) es \( \ln|u| \), así que tenemos:

\[
\frac{1}{2} \ln|u| + C
\]

### Paso 4: Sustituir de nuevo \(u\)

Finalmente, sustituimos \(u = x^2 + 8x + 10\) de nuevo:

\[
\frac{1}{2} \ln|x^2 + 8x + 10| + C
\]

### Respuesta Final:

\[
\int \left(\frac{x+4}{x^2 + 8x + 10}\right) \, dx = \frac{1}{2} \ln|x^2 + 8x + 10| + C
\]

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta sobre el proceso?

Aquí tienes 5 preguntas relacionadas para ampliar la información:
1. ¿Cómo afecta la elección de la sustitución al proceso de integración?
2. ¿Podríamos resolver esta integral de otra manera?
3. ¿Cómo se puede verificar la solución derivando la respuesta final?
4. ¿Qué pasa si intentamos resolver esta integral con integración por partes?
5. ¿Cómo identificar cuándo es conveniente aplicar la técnica de sustitución?

**Tip:** La técnica de sustitución es particularmente útil cuando el integrando tiene una función compuesta cuya derivada está presente en el integrando.

Explore the step-by-step solution for integrating (x+4)/(x^2 + 8x + 10). Learn how to apply the substitution method effectively to solve this integral. Suitable for college-level students studying calculus.

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