Una lata cilíndrica contiene 4.5𝜋 pulgadas cúbicas de jugo de naranja congelado. El costo
por pulgada cuadrada en la fabricación de las partes superior e inferior de metal es el
triple del costo por pulgada cuadrada en la fabricación de la parte lateral de cartón.
Exprese el costo de fabricar la lata como una función del radio si el costo de la parte
lateral es 0.06 centavos por pulgada cuadrada y defina el dominio de la función obtenida

Para resolver este problema, vamos a dividirlo en pasos, determinando primero las ecuaciones necesarias y luego expresando el costo total en función del radio \( r \).

### 1. **Volumen del cilindro:**
Dado que el volumen \( V \) de la lata es \( 4.5\pi \) pulgadas cúbicas, podemos usar la fórmula del volumen de un cilindro para relacionar el radio \( r \) y la altura \( h \) del cilindro:
\[
V = \pi r^2 h = 4.5\pi
\]
De aquí, podemos despejar la altura \( h \):
\[
h = \frac{4.5\pi}{\pi r^2} = \frac{4.5}{r^2}
\]

### 2. **Área de la superficie lateral:**
El área lateral del cilindro es:
\[
A_{\text{lateral}} = 2\pi rh
\]
Sustituyendo \( h \) obtenida antes:
\[
A_{\text{lateral}} = 2\pi r \left(\frac{4.5}{r^2}\right) = \frac{9\pi}{r}
\]

### 3. **Área de las tapas superior e inferior:**
Cada tapa tiene un área de \( \pi r^2 \), por lo que el área total de las dos tapas es:
\[
A_{\text{tapas}} = 2\pi r^2
\]

### 4. **Costo de fabricación:**
- El costo por pulgada cuadrada de la parte lateral es de \( 0.06 \) centavos.
- El costo por pulgada cuadrada de las tapas es el triple, es decir, \( 0.18 \) centavos.

El costo total \( C(r) \) de fabricar la lata en función del radio \( r \) es la suma del costo de fabricar la parte lateral y las tapas:
\[
C(r) = \text{Costo lateral} + \text{Costo tapas}
\]
\[
C(r) = 0.06 \times A_{\text{lateral}} + 0.18 \times A_{\text{tapas}}
\]
Sustituyendo los valores obtenidos para las áreas:
\[
C(r) = 0.06 \times \frac{9\pi}{r} + 0.18 \times 2\pi r^2
\]
\[
C(r) = \frac{0.54\pi}{r} + 0.36\pi r^2
\]

### 5. **Dominio de la función:**
El dominio de la función \( C(r) \) está definido para todos los valores positivos del radio \( r \), ya que el radio no puede ser negativo ni cero en un cilindro físico.

\[
\text{Dominio}: r > 0
\]

### Resumen:
La función costo de fabricar la lata en función del radio \( r \) es:
\[
C(r) = \frac{0.54\pi}{r} + 0.36\pi r^2
\]
con dominio \( r > 0 \).

---

¿Te gustaría que ampliemos en algún aspecto o tienes alguna pregunta? Aquí tienes cinco preguntas relacionadas para profundizar más:

1. ¿Cómo afecta el costo del material al tamaño óptimo del cilindro?
2. ¿Qué sucedería si el costo por pulgada cuadrada del cartón cambiara?
3. ¿Cómo determinaríamos el radio que minimiza el costo de la lata?
4. ¿Qué significado tiene la derivada de \( C(r) \) en este contexto?
5. ¿Cómo se puede verificar que el dominio de la función está correctamente definido?

**Tip:** Al derivar una función de costo como esta, puedes encontrar el punto en el que el costo es mínimo, lo que es útil para la optimización de recursos.

Explore how to calculate the manufacturing cost of a cylindrical container based on its dimensions. This problem involves determining the volume and surface area of the cylinder and applying cost-per-area calculations for different materials. Suitable for advanced high school students.

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