En un grupo de 30 estudiantes, se presentaron los siguientes resultados en las primeras evaluaciones parciales: 10 estudiantes ganaron matemáticas, 20 estudiantes ganaron química, 11 estudiantes ganaron física, 8 estudiantes ganaron química y matemáticas, 4 estudiantes ganaron matemáticas y física, 5 estudiantes ganaron química y física y 3 estudiantes ganaron las tres evaluaciones. ¿Cuántos estudiantes no ganaron ninguna evaluación? ¿Cuántos estudiantes ganaron mínimo una evaluación? ¿Cuántos estudiantes ganaron únicamente una evaluación? ¿Cuántos estudiantes ganaron máximo dos evaluaciones? ¿Qué porcentaje de estudiantes ganaron solamente una evaluación?

Para resolver este problema, vamos a utilizar los principios de conjuntos y diagramas de Venn.

### Definiciones:
- \( M \) = conjunto de estudiantes que ganaron matemáticas.
- \( Q \) = conjunto de estudiantes que ganaron química.
- \( F \) = conjunto de estudiantes que ganaron física.
- Total de estudiantes = 30.

### Datos dados:
- \( |M| = 10 \) (ganaron matemáticas).
- \( |Q| = 20 \) (ganaron química).
- \( |F| = 11 \) (ganaron física).
- \( |M \cap Q| = 8 \) (ganaron matemáticas y química).
- \( |M \cap F| = 4 \) (ganaron matemáticas y física).
- \( |Q \cap F| = 5 \) (ganaron química y física).
- \( |M \cap Q \cap F| = 3 \) (ganaron las tres evaluaciones).

Ahora vamos a calcular el número de estudiantes en cada conjunto de interés.

### 1. **Cuántos estudiantes ganaron mínimo una evaluación:**

Para calcular cuántos estudiantes ganaron al menos una evaluación, utilizamos la fórmula de inclusión-exclusión:

\[
|M \cup Q \cup F| = |M| + |Q| + |F| - |M \cap Q| - |M \cap F| - |Q \cap F| + |M \cap Q \cap F|
\]

Sustituyendo los valores:

\[
|M \cup Q \cup F| = 10 + 20 + 11 - 8 - 4 - 5 + 3 = 27
\]

Por lo tanto, **27 estudiantes** ganaron al menos una evaluación.

### 2. **Cuántos estudiantes no ganaron ninguna evaluación:**

El total de estudiantes es 30. Si 27 ganaron al menos una evaluación, entonces el número de estudiantes que no ganaron ninguna evaluación es:

\[
30 - 27 = 3
\]

Por lo tanto, **3 estudiantes** no ganaron ninguna evaluación.

### 3. **Cuántos estudiantes ganaron únicamente una evaluación:**

Para calcular esto, debemos restar a cada conjunto de estudiantes que ganaron una evaluación las intersecciones con otros conjuntos.

- Estudiantes que ganaron **solo matemáticas**:
  \[
  |M| - |M \cap Q| - |M \cap F| + |M \cap Q \cap F| = 10 - 8 - 4 + 3 = 1
  \]
  Por lo tanto, **1 estudiante** ganó solo matemáticas.

- Estudiantes que ganaron **solo química**:
  \[
  |Q| - |M \cap Q| - |Q \cap F| + |M \cap Q \cap F| = 20 - 8 - 5 + 3 = 10
  \]
  Por lo tanto, **10 estudiantes** ganaron solo química.

- Estudiantes que ganaron **solo física**:
  \[
  |F| - |M \cap F| - |Q \cap F| + |M \cap Q \cap F| = 11 - 4 - 5 + 3 = 5
  \]
  Por lo tanto, **5 estudiantes** ganaron solo física.

Sumando los estudiantes que ganaron únicamente una evaluación:

\[
1 + 10 + 5 = 16
\]

Por lo tanto, **16 estudiantes** ganaron únicamente una evaluación.

### 4. **Cuántos estudiantes ganaron máximo dos evaluaciones:**

Sabemos que:
- 3 estudiantes ganaron las tres evaluaciones.
- 27 estudiantes ganaron al menos una evaluación.

Por lo tanto, el número de estudiantes que ganaron máximo dos evaluaciones es:

\[
27 - 3 = 24
\]

Por lo tanto, **24 estudiantes** ganaron máximo dos evaluaciones.

### 5. **Qué porcentaje de estudiantes ganaron solamente una evaluación:**

El porcentaje de estudiantes que ganaron solamente una evaluación es:

\[
\left( \frac{16}{30} \right) \times 100 = 53.33\%
\]

Por lo tanto, **53.33%** de los estudiantes ganaron solamente una evaluación.

---

¿Te gustaría que te explicara algún paso en mayor detalle?

### Preguntas adicionales:
1. ¿Cómo se aplica el principio de inclusión-exclusión en otros problemas?
2. ¿Qué sucedería si más estudiantes hubieran ganado todas las evaluaciones?
3. ¿Cómo se representa este problema usando diagramas de Venn?
4. ¿Qué significan las intersecciones de los conjuntos en términos de estudiantes?
5. ¿Cómo se calculan las probabilidades a partir de esta información?

### Tip:
El principio de inclusión-exclusión es muy útil cuando hay superposición entre conjuntos, y se puede aplicar en muchos tipos de problemas combinatorios.

Solve a problem involving student exam results using the Inclusion-Exclusion principle in set theory. Learn how to find the number of students who passed at least one, exactly one, and no exams. Suitable for Grades 10-12 students.

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