La altura de un cono es ℎ = 30𝑐𝑚 y el radio de su base es 𝑟 = 10𝑐𝑚 ¿Cómo variará el volumen de dicho cono si ℎ aumenta 3𝑚𝑚 y 𝑟 disminuye 1𝑚𝑚?

Para determinar cómo variará el volumen de un cono cuando su altura \( h \) aumenta 3 mm y el radio \( r \) disminuye 1 mm, podemos usar la fórmula del volumen del cono y calcular la derivada total para analizar los cambios.

### Paso 1: Fórmula del volumen del cono
La fórmula para el volumen \( V \) de un cono es:

\[
V = \frac{1}{3} \pi r^2 h
\]

### Paso 2: Derivada total del volumen
Para encontrar cómo varía el volumen cuando \( h \) y \( r \) cambian, calculamos la derivada total de \( V \):

\[
dV = \frac{\partial V}{\partial r} dr + \frac{\partial V}{\partial h} dh
\]

Calculamos las derivadas parciales:

\[
\frac{\partial V}{\partial r} = \frac{1}{3} \pi \cdot 2r \cdot h = \frac{2}{3} \pi r h
\]

\[
\frac{\partial V}{\partial h} = \frac{1}{3} \pi r^2
\]

### Paso 3: Sustituir los valores iniciales y los incrementos
Dado que \( h = 30 \) cm, \( r = 10 \) cm, \( dh = 3 \) mm (0.3 cm) y \( dr = -1 \) mm (-0.1 cm), sustituimos en la fórmula del diferencial del volumen:

\[
dV = \frac{2}{3} \pi (10)(30)(-0.1) + \frac{1}{3} \pi (10^2)(0.3)
\]

Simplificando:

\[
dV = \frac{2}{3} \pi (300)(-0.1) + \frac{1}{3} \pi (100)(0.3)
\]

\[
dV = \frac{2}{3} \pi (-30) + \frac{1}{3} \pi (30)
\]

\[
dV = -20\pi + 10\pi = -10\pi \ \text{cm}^3
\]

### Paso 4: Interpretación del resultado
El volumen del cono disminuirá aproximadamente en \( 10\pi \) cm³ (aproximadamente 31.42 cm³) debido al aumento de 3 mm en la altura y la disminución de 1 mm en el radio.

---

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta sobre este procedimiento?

### Preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo variaría el volumen si solo cambiara la altura y no el radio?
2. ¿Cómo se deriva la fórmula del volumen de un cono desde principios geométricos?
3. ¿Qué sucede si los cambios en \( h \) y \( r \) fueran mayores?
4. ¿Cómo encontrar la variación en el volumen para un cilindro?
5. ¿Qué otros métodos existen para estimar cambios en el volumen de un sólido?

### Tip:
Cuando trabajas con variaciones pequeñas, el uso de derivadas parciales y el diferencial total te permite estimar cómo cambiará una función con respecto a cambios en sus variables.

Descubre cómo varía el volumen de un cono cuando su altura aumenta 3 mm y su radio disminuye 1 mm. Utiliza la fórmula del volumen del cono y calcula la derivada total para analizar los cambios. Aproximadamente, el volumen disminuirá en 10π cm³ debido a los cambios mencionados.

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