
2 x - a y + 4 z = 2
2 x + y – 4a z = 2
2a x - y + 4 z = 2

a) Encuentra los valores de a para los cuales el sistema tiene infinitas soluciones.
b) Encuentra los valores de a para los cuales el sistema no tiene solución.
c) Encuentra los valores de a para los cuales el sistema tiene solución única.


Para resolver el sistema de ecuaciones y determinar los valores de \( a \) que corresponden a cada caso (infinitas soluciones, sin solución y solución única), seguimos los siguientes pasos:

### Paso 1: Escribir el sistema de ecuaciones
El sistema de ecuaciones lineales dado es:

\[
\begin{aligned}
1) & \quad 2x - ay + 4z = 2 \\
2) & \quad 2x + y - 4az = 2 \\
3) & \quad 2ax - y + 4z = 2
\end{aligned}
\]

### Paso 2: Representar el sistema en forma matricial
Podemos escribir el sistema en forma matricial \( A \mathbf{x} = \mathbf{b} \), donde:

\[
A = \begin{pmatrix}
2 & -a & 4 \\
2 & 1 & -4a \\
2a & -1 & 4
\end{pmatrix}, \quad 
\mathbf{x} = \begin{pmatrix}
x \\
y \\
z
\end{pmatrix}, \quad 
\mathbf{b} = \begin{pmatrix}
2 \\
2 \\
2
\end{pmatrix}
\]

### Paso 3: Calcular el determinante de la matriz \( A \)
El determinante de \( A \) nos ayudará a identificar los valores de \( a \) para los cuales el sistema tiene solución única, infinitas soluciones o no tiene solución.

\[
\text{Determinante de } A = \text{det}(A) = \begin{vmatrix}
2 & -a & 4 \\
2 & 1 & -4a \\
2a & -1 & 4
\end{vmatrix}
\]

Calculando el determinante:

\[
\text{det}(A) = 2 \left(1 \cdot 4 - (-1) \cdot (-4a)\right) - (-a) \left(2 \cdot 4 - (-4a) \cdot 2a\right) + 4 \left(2 \cdot (-1) - 1 \cdot 2a\right)
\]

\[
\text{det}(A) = 2 (4 - 4a) + a (8a - 8) + 4(-2 - 2a)
\]

\[
\text{det}(A) = 8 - 8a + 8a^2 - 8a - 8 - 8a
\]

\[
\text{det}(A) = 8a^2 - 24a
\]

\[
\text{det}(A) = 8a(a - 3)
\]

### Paso 4: Determinar los valores de \( a \) para cada caso
- **Infinitas soluciones:** Para que el sistema tenga infinitas soluciones, \( \text{det}(A) = 0 \) y el sistema debe ser compatible indeterminado. Para \( \text{det}(A) = 0 \):

  \[
  8a(a - 3) = 0
  \]

  Esto se cumple cuando \( a = 0 \) o \( a = 3 \). Luego se deben verificar las condiciones de compatibilidad para que haya infinitas soluciones.

- **Sin solución:** Para que el sistema no tenga solución, \( \text{det}(A) = 0 \) y el sistema debe ser incompatible. Nuevamente, esto ocurre para \( a = 0 \) o \( a = 3 \), pero el sistema resultante no debe ser compatible.

- **Solución única:** El sistema tiene solución única cuando \( \text{det}(A) \neq 0 \). Esto ocurre cuando \( a \neq 0 \) y \( a \neq 3 \).

### Conclusiones:
a) El sistema tiene **infinitas soluciones** para \( a = 0 \) y \( a = 3 \) si las ecuaciones adicionales son compatibles.

b) El sistema **no tiene solución** para \( a = 0 \) o \( a = 3 \) si las ecuaciones adicionales son incompatibles.

c) El sistema tiene **solución única** para \( a \neq 0 \) y \( a \neq 3 \).

¿Te gustaría que desarrolle las condiciones de compatibilidad para \( a = 0 \) y \( a = 3 \) o tienes alguna otra pregunta?

---

1. ¿Qué ocurre si \( a = 1 \) en este sistema de ecuaciones?
2. ¿Cómo verificarías la compatibilidad de las ecuaciones para \( a = 0 \) o \( a = 3 \)?
3. ¿Qué método utilizarías para resolver el sistema si \( a = 2 \)?
4. ¿Cómo afecta el valor de \( a \) a la geometría de las soluciones del sistema?
5. ¿Cómo se podría resolver el sistema utilizando matrices inversas si \( a \neq 0 \) y \( a \neq 3 \)?

**Tip:** Los determinantes son útiles para verificar la existencia de soluciones en sistemas de ecuaciones lineales.

Learn how to solve a system of linear equations involving a parameter a. Understand when the system has infinite solutions, no solution, or a unique solution using matrices and determinants. Suitable for advanced high school students in Grades 10-12.

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