 Resuelva la siguiente ecuación

     y’ – 2 y + a = 0

Para resolver la ecuación diferencial \( y' - 2y + a = 0 \), seguimos estos pasos:

1. **Identificar la ecuación:** La ecuación es una ecuación diferencial ordinaria de primer orden, lineal y no homogénea:
   \[
   y' - 2y = -a
   \]

2. **Encontrar la solución general de la ecuación homogénea asociada:** La ecuación homogénea asociada es:
   \[
   y' - 2y = 0
   \]
   Resolvemos esta ecuación diferencial:
   \[
   y' = 2y
   \]
   La solución general de esta ecuación es:
   \[
   y_h(x) = C e^{2x}
   \]
   donde \( C \) es una constante arbitraria.

3. **Encontrar una solución particular de la ecuación no homogénea:** Como el término no homogéneo es constante, buscamos una solución particular de la forma \( y_p = b \), donde \( b \) es una constante. Sustituyendo en la ecuación original:
   \[
   0 - 2b + a = 0
   \]
   Esto nos da:
   \[
   b = \frac{a}{2}
   \]
   Por lo tanto, la solución particular es:
   \[
   y_p(x) = \frac{a}{2}
   \]

4. **Escribir la solución general:** La solución general de la ecuación diferencial es la suma de la solución homogénea y la solución particular:
   \[
   y(x) = y_h(x) + y_p(x)
   \]
   Entonces:
   \[
   y(x) = C e^{2x} + \frac{a}{2}
   \]

Esta es la solución general de la ecuación diferencial \( y' - 2y + a = 0 \).

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Aquí tienes algunas preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se resuelven las ecuaciones diferenciales no homogéneas de segundo orden?
2. ¿Qué métodos existen para encontrar soluciones particulares en ecuaciones diferenciales?
3. ¿Cuál es la diferencia entre soluciones generales y particulares en ecuaciones diferenciales?
4. ¿Cómo se aplica el método de coeficientes indeterminados en la resolución de ecuaciones diferenciales?
5. ¿Cómo afecta una función no homogénea a la solución de una ecuación diferencial?

**Tip:** Al resolver ecuaciones diferenciales lineales, siempre es importante considerar tanto la solución homogénea como la particular para encontrar la solución completa.

Learn how to solve the differential equation y' - 2y + a = 0 with a detailed step-by-step solution. This problem covers first-order linear differential equations, including homogeneous and non-homogeneous forms. Suitable for university-level students.

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