Un cono revolucionario se corta en dos partes iguales por un plano paralelo a su base ¿cuál es el volumen de cada parte?

Cuando un cono es cortado en dos partes iguales por un plano paralelo a su base, el volumen de la parte superior (la porción más pequeña) no es igual al volumen de la parte inferior (la porción más grande). Esto se debe a que los volúmenes de cuerpos semejantes, como lo serían el cono original y el cono superior que se forma tras el corte, siguen una relación cúbica.

Veamos los pasos para calcular el volumen de cada parte:

### Datos del problema:
- El cono se corta en dos partes por un plano paralelo a la base.
- Queremos determinar el volumen de cada una de las dos partes.

### Paso 1: Fórmula del volumen de un cono

El volumen \( V \) de un cono se expresa como:
\[
V = \frac{1}{3} \pi r^2 h
\]
donde:
- \( r \) es el radio de la base,
- \( h \) es la altura del cono.

### Paso 2: Dividiendo el cono

Cuando se corta el cono por un plano paralelo a la base, se forma un cono más pequeño en la parte superior, y la base del cono más grande sigue siendo la base original.

Sea \( h_1 \) la altura del cono superior después del corte. Como el plano corta el cono en dos partes iguales (en términos de altura), la altura del cono más pequeño es \( h_1 = \frac{h}{2} \), y el radio de la base de este cono más pequeño será proporcional a su altura, es decir, \( r_1 = \frac{r}{2} \).

### Paso 3: Volumen de la parte superior (cono más pequeño)

El volumen del cono más pequeño (parte superior) será:
\[
V_1 = \frac{1}{3} \pi r_1^2 h_1 = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{r}{2}\right)^2 \left(\frac{h}{2}\right)
\]
\[
V_1 = \frac{1}{3} \pi \frac{r^2}{4} \frac{h}{2} = \frac{1}{24} \pi r^2 h
\]
Por lo tanto, el volumen del cono pequeño es \( V_1 = \frac{1}{8} V \), donde \( V \) es el volumen del cono original.

### Paso 4: Volumen de la parte inferior (tronco de cono)

El volumen de la parte inferior es el volumen total del cono menos el volumen de la parte superior:
\[
V_2 = V - V_1 = V - \frac{1}{8}V = \frac{7}{8}V
\]

### Resultado:

- El volumen de la parte superior (cono pequeño) es \( \frac{1}{8} \) del volumen total.
- El volumen de la parte inferior (tronco de cono) es \( \frac{7}{8} \) del volumen total.

Si tienes más preguntas o quieres detalles adicionales, estaré encantado de ayudarte.

**Preguntas relacionadas:**
1. ¿Cómo se calcula el área lateral de un tronco de cono?
2. ¿Qué sucede con las proporciones de las áreas cuando se corta un cono de esta manera?
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4. ¿Qué pasa si el cono se corta en tres partes iguales por planos paralelos?
5. ¿Cómo cambia el centro de masa del cono cuando se corta por un plano paralelo?

**Tip:** Los volúmenes de cuerpos semejantes se relacionan según el cubo de la razón de sus dimensiones lineales.

Aprende a calcular el volumen de un cono cuando se corta en dos partes por un plano paralelo a su base. Explora la relación cúbica entre cuerpos semejantes y utiliza las fórmulas del volumen para determinar cuánto representa cada porción. Adecuado para estudiantes de secundaria superior (Grados 10-12).

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