 Resuelva la siguiente ecuación

Resuelva los ejercicios con los valores iniciales indicados.

       y’  = 2 ex y3           y(0)  = 0,5

 

Para resolver la ecuación diferencial con el valor inicial dado:

\[
y' = 2e^x y^3 \quad \text{con} \quad y(0) = 0.5
\]

Podemos proceder de la siguiente manera:

### Paso 1: Reescribir la ecuación diferencial
Reescribimos la ecuación diferencial en la forma separable:

\[
\frac{dy}{dx} = 2e^x y^3
\]

Esto se puede separar para integrar:

\[
\frac{1}{y^3} \, dy = 2e^x \, dx
\]

### Paso 2: Integrar ambos lados
Integramos ambos lados de la ecuación:

\[
\int \frac{1}{y^3} \, dy = \int 2e^x \, dx
\]

Calculamos las integrales:

\[
\int y^{-3} \, dy = \int 2e^x \, dx
\]

La integral del lado izquierdo es:

\[
\int y^{-3} \, dy = \frac{y^{-2}}{-2} = -\frac{1}{2y^2}
\]

La integral del lado derecho es:

\[
\int 2e^x \, dx = 2e^x
\]

Por lo tanto, la ecuación se convierte en:

\[
-\frac{1}{2y^2} = 2e^x + C
\]

Donde \( C \) es la constante de integración.

### Paso 3: Resolver para \( y(x) \)
Multiplicamos ambos lados por \(-2\) para despejar \( \frac{1}{y^2} \):

\[
\frac{1}{y^2} = -4e^x - 2C
\]

Invirtiendo ambos lados:

\[
y^2 = \frac{1}{-4e^x - 2C}
\]

Y tomando la raíz cuadrada de ambos lados:

\[
y(x) = \pm \frac{1}{\sqrt{-4e^x - 2C}}
\]

### Paso 4: Aplicar la condición inicial
Utilizamos la condición inicial \( y(0) = 0.5 \) para encontrar \( C \):

\[
0.5 = \pm \frac{1}{\sqrt{-4e^0 - 2C}}
\]

Sabemos que \( e^0 = 1 \), entonces:

\[
0.5 = \frac{1}{\sqrt{-4 - 2C}}
\]

Invertimos ambos lados:

\[
\sqrt{-4 - 2C} = 2
\]

Elevando al cuadrado:

\[
-4 - 2C = 4
\]

Despejamos \( C \):

\[
-2C = 8 \quad \Rightarrow \quad C = -4
\]

### Paso 5: Sustituir \( C \) en la solución general
Sustituimos \( C = -4 \) en la solución:

\[
y(x) = \pm \frac{1}{\sqrt{-4e^x + 8}}
\]

Para determinar el signo, usamos nuevamente la condición inicial:

\[
y(0) = \frac{1}{\sqrt{-4 \cdot 1 + 8}} = \frac{1}{\sqrt{4}} = \frac{1}{2}
\]

Por lo tanto, la solución es:

\[
y(x) = \frac{1}{\sqrt{8 - 4e^x}}
\]

Esta es la solución particular para la ecuación diferencial con la condición inicial dada.

¿Tienes alguna pregunta o te gustaría más detalles sobre algún paso?

Aquí tienes algunas preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se identifican ecuaciones diferenciales separables?
2. ¿Qué técnicas se usan para resolver ecuaciones diferenciales con valores iniciales?
3. ¿Cómo se verifica si una función es solución de una ecuación diferencial?
4. ¿Qué importancia tienen las condiciones iniciales en la resolución de ecuaciones diferenciales?
5. ¿Qué otros métodos existen para resolver ecuaciones diferenciales no lineales?

**Tip:** Cuando trabajas con ecuaciones diferenciales, es útil simplificar cada paso y verificar tu trabajo utilizando la condición inicial dada.

Learn how to solve the differential equation y' = 2e^x y^3 with the initial condition y(0) = 0.5. This detailed solution covers separating the variables, integrating both sides, applying the initial condition, and deriving the specific solution. Suitable for advanced college-level mathematics.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation