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Si el grado absoluto del polinomio es 14, ¿cuánto es la suma de coeficientes del polinomio?

A.

14

B.

15

C.

16

D.

17

Para resolver la pregunta, primero analizamos el polinomio dado:

\[ T_{(x,y)} = (m+3) \cdot x^{m-2} \cdot y^{n+4} + (n-5) \cdot x^{m-1} \cdot y^{n+2} + 7x^{m-1} \cdot y^{n+1} \]

Nos dicen que el grado absoluto del polinomio es 14. El grado absoluto de un término en un polinomio de dos variables \(x\) y \(y\) es la suma de los exponentes de \(x\) y \(y\) en ese término.

### Paso 1: Encontrar el grado absoluto de cada término
1. Para el primer término: \((m+3) \cdot x^{m-2} \cdot y^{n+4}\)
   - Grado absoluto: \( (m-2) + (n+4) = m + n + 2 \)

2. Para el segundo término: \((n-5) \cdot x^{m-1} \cdot y^{n+2}\)
   - Grado absoluto: \( (m-1) + (n+2) = m + n + 1 \)

3. Para el tercer término: \(7x^{m-1} \cdot y^{n+1}\)
   - Grado absoluto: \( (m-1) + (n+1) = m + n \)

### Paso 2: Utilizar la condición del grado absoluto
Nos informan que el grado absoluto del polinomio es 14. El grado absoluto más alto de los términos es \( m+n+2 \), por lo tanto:

\[
m+n+2 = 14
\]

Resolviendo para \( m+n \):

\[
m+n = 12
\]

### Paso 3: Calcular la suma de los coeficientes
La suma de los coeficientes de un polinomio se obtiene sustituyendo \( x = 1 \) y \( y = 1 \) en el polinomio.

Sustituyendo \( x = 1 \) y \( y = 1 \) en el polinomio:

\[
T_{(1,1)} = (m+3) \cdot 1^{m-2} \cdot 1^{n+4} + (n-5) \cdot 1^{m-1} \cdot 1^{n+2} + 7 \cdot 1^{m-1} \cdot 1^{n+1}
\]

Esto se simplifica a:

\[
T_{(1,1)} = (m+3) + (n-5) + 7
\]

Sumando:

\[
T_{(1,1)} = m + 3 + n - 5 + 7 = m + n + 5
\]

Dado que \( m + n = 12 \), sustituimos:

\[
T_{(1,1)} = 12 + 5 = 17
\]

Por lo tanto, la suma de los coeficientes del polinomio es 17.

### Respuesta correcta:
**D. 17**

---

¿Te gustaría más detalles sobre los pasos? Aquí tienes 5 preguntas relacionadas:

1. ¿Qué es el grado absoluto de un polinomio?
2. ¿Cómo se determina el grado de cada término en un polinomio multivariable?
3. ¿Qué significa sustituir \(x = 1\) y \(y = 1\) para obtener la suma de los coeficientes?
4. ¿Cómo se puede verificar la validez del cálculo de la suma de los coeficientes?
5. ¿Qué otros métodos existen para calcular la suma de los coeficientes de un polinomio?

**Tip:** Recuerda que en polinomios multivariables, el grado absoluto es la clave para identificar el término dominante.

Calculate the sum of coefficients of a polynomial given its absolute degree is 14. Follow a step-by-step solution to find the sum using algebraic methods. Suitable for advanced high school students.

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