Resolver la ecuación para que lo entienda un niño

¡Claro! Vamos a resolver la ecuación paso a paso de una manera más sencilla.

### La ecuación es:
\[
-2 \cdot \cos(x) - \cos^2(x) = \sin^2(x)
\]

### 1. Conoce a los personajes: "coseno" y "seno"
- **Coseno** (cos) y **seno** (sin) son como dos amigos que siempre están relacionados. Si uno cambia, el otro también.
- Hay una regla que siempre cumplen: **El cuadrado de coseno más el cuadrado de seno siempre es 1**. Es decir:
\[
\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1
\]

### 2. Usando la regla para cambiar la ecuación
- Podemos cambiar la parte donde está \(\sin^2(x)\) por \(1 - \cos^2(x)\) (usando la regla):
\[
-2 \cdot \cos(x) - \cos^2(x) = 1 - \cos^2(x)
\]

### 3. Simplificando la ecuación
- Ahora, imagina que \( \cos(x) \) es una caja con algo adentro. Queremos simplificar la ecuación:
\[
-2 \cdot \cos(x) - \cos^2(x) + \cos^2(x) = 1
\]
- Como hay un \( - \cos^2(x) \) y un \( + \cos^2(x) \), se cancelan entre sí, y queda:
\[
-2 \cdot \cos(x) = 1
\]

### 4. Encontrando el valor de cos(x)
- Ahora, para encontrar el valor de \( \cos(x) \), dividimos ambos lados por -2:
\[
\cos(x) = -\frac{1}{2}
\]

### 5. ¿Cuándo es cos(x) igual a -1/2?
- Ahora necesitamos encontrar los ángulos en los que el coseno es igual a -1/2.
- Para hacer esto, imagina que el coseno es como una regla circular. Cuando recorres la regla, encuentras que:
    - Uno de esos ángulos es \( \frac{2\pi}{3} \) (en radianes) o 120°.
    - Otro es \( \frac{4\pi}{3} \) (en radianes) o 240°.

### 6. Buscando dentro de un rango
- Nos pidieron buscar estos ángulos en el rango de -2π a 0.
- Para encontrarlos, restamos \( 2\pi \) a esos ángulos, que es como dar una vuelta completa hacia atrás:
    - Para \( \frac{2\pi}{3} - 2\pi \), obtenemos \( -\frac{4\pi}{3} \).
    - Para \( \frac{4\pi}{3} - 2\pi \), obtenemos \( -\frac{2\pi}{3} \).

### 7. ¡Respuesta final!
- Entonces, los dos ángulos que buscamos, que hacen que \( \cos(x) \) sea igual a -1/2, son:
    - \( x = -\frac{4\pi}{3} \)
    - \( x = -\frac{2\pi}{3} \)

¡Y eso es todo! Encontramos las respuestas.

### ¿Te gustaría que te explique algún paso más o alguna otra duda?

### Preguntas relacionadas:
1. ¿Qué significa exactamente el coseno en un triángulo?
2. ¿Cómo sería la ecuación si en lugar de coseno usamos seno desde el principio?
3. ¿Qué pasa con el coseno si cambiamos el rango de ángulos?
4. ¿Cómo podríamos dibujar estos ángulos en un círculo?
5. ¿Qué sucede si el coseno fuera positivo en lugar de negativo?

### Consejo:
Piensa en el círculo unitario como una rueda de bicicleta: cada ángulo es una posición en la rueda, y el coseno te dice qué tan lejos estás hacia la derecha o izquierda.

Learn how to solve the trigonometric equation -2*cos(x) - cos^2(x) = sin^2(x) with a step-by-step explanation. This problem involves trigonometric identities and is suitable for students in Grades 9-12.

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