Hallar los valores de 𝑥 ∈ (−2𝜋, 0) tales que: 
−2. cos(𝑥)−𝑐𝑜𝑠2(𝑥) = 𝑠𝑖𝑛2(𝑥)

Vamos a resolver la ecuación trigonométrica:

\[
-2\cos(x) - \cos^2(x) = \sin^2(x)
\]

Podemos empezar utilizando la identidad trigonométrica fundamental:

\[
\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1
\]

Por lo tanto, podemos sustituir \(\sin^2(x)\) en la ecuación:

\[
-2\cos(x) - \cos^2(x) = 1 - \cos^2(x)
\]

Ahora, sumamos \(\cos^2(x)\) a ambos lados de la ecuación:

\[
-2\cos(x) = 1
\]

Dividimos ambos lados por -2:

\[
\cos(x) = -\frac{1}{2}
\]

Ahora, debemos encontrar los valores de \(x\) dentro del intervalo \(x \in (-2\pi, 0)\) que satisfacen \(\cos(x) = -\frac{1}{2}\).

El coseno es \(-\frac{1}{2}\) en los siguientes ángulos:

\[
x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{y} \quad x = \frac{4\pi}{3} + 2k\pi
\]

Donde \(k\) es un número entero. Ahora, vamos a buscar las soluciones dentro del intervalo dado:

- Para \(k = -1\):

\[
x_1 = \frac{2\pi}{3} - 2\pi = -\frac{4\pi}{3}
\]

\[
x_2 = \frac{4\pi}{3} - 2\pi = -\frac{2\pi}{3}
\]

Ambos valores \(x_1 = -\frac{4\pi}{3}\) y \(x_2 = -\frac{2\pi}{3}\) están dentro del intervalo \((-2\pi, 0)\).

Por lo tanto, los valores de \(x\) que satisfacen la ecuación en el intervalo dado son:

\[
x = -\frac{4\pi}{3} \quad \text{y} \quad x = -\frac{2\pi}{3}
\]

¿Te gustaría que profundice en algún paso o tienes alguna pregunta adicional?

### Preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se deduce la identidad \(\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1\)?
2. ¿Qué otros valores de \(x\) satisfacen \(\cos(x) = -\frac{1}{2}\) fuera del intervalo dado?
3. ¿Cómo afecta el valor de \(k\) en las soluciones generales de la ecuación trigonométrica?
4. ¿Qué sucede si cambiamos el intervalo para \(x\) en la pregunta original?
5. ¿Cuál es la relación entre las soluciones en diferentes intervalos de \(x\)?

### Consejo:
Recuerda que al trabajar con ecuaciones trigonométricas, siempre es útil tener en cuenta las identidades fundamentales y las propiedades de las funciones trigonométricas para simplificar y resolver las ecuaciones.

Learn how to solve the trigonometric equation -2 cos(x) - cos^2(x) = sin^2(x) within the interval (-2π, 0). This problem involves applying trigonometric identities and solving equations involving cosine and sine functions. Suitable for advanced high school students.

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