Obtenga la solución de la siguiente ecuación trigonométrica en el intervalo (0°,360°] 
 
cos2x=1+4senx

Vamos a resolver la ecuación trigonométrica dada:

\[
\cos(2x) = 1 + 4 \sin(x)
\]

### Paso 1: Usar identidades trigonométricas

Recordemos que la identidad para el coseno del ángulo doble es:

\[
\cos(2x) = 1 - 2 \sin^2(x)
\]

Sustituyendo esta identidad en la ecuación dada, tenemos:

\[
1 - 2 \sin^2(x) = 1 + 4 \sin(x)
\]

### Paso 2: Simplificar la ecuación

Restamos 1 de ambos lados:

\[
-2 \sin^2(x) = 4 \sin(x)
\]

Dividimos ambos lados por -2:

\[
\sin^2(x) = -2 \sin(x)
\]

Reorganizamos la ecuación:

\[
\sin^2(x) + 2 \sin(x) = 0
\]

### Paso 3: Factorizar la ecuación

Podemos factorizar la ecuación:

\[
\sin(x) (\sin(x) + 2) = 0
\]

Esto nos da dos posibles soluciones:

1. \(\sin(x) = 0\)
2. \(\sin(x) + 2 = 0\)

### Paso 4: Resolver para cada caso

1. **Para \(\sin(x) = 0\):**

\(\sin(x) = 0\) en \(x = 0^\circ, 180^\circ, 360^\circ\). Dado que estamos buscando soluciones en el intervalo \((0^\circ, 360^\circ]\), las soluciones válidas son:

\[
x = 180^\circ, \; 360^\circ
\]

2. **Para \(\sin(x) + 2 = 0\):**

\(\sin(x) = -2\), pero sabemos que el rango de \(\sin(x)\) es \([-1, 1]\), por lo que no hay soluciones para esta ecuación.

### Solución Final

Las soluciones de la ecuación trigonométrica \(\cos(2x) = 1 + 4 \sin(x)\) en el intervalo \((0^\circ, 360^\circ]\) son:

\[
x = 180^\circ, \; 360^\circ
\]

¿Te gustaría ver más detalles o tienes alguna pregunta?

### Preguntas Relacionadas:

1. ¿Cómo se derivan las identidades trigonométricas como \(\cos(2x) = 1 - 2 \sin^2(x)\)?
2. ¿Qué otros métodos se pueden utilizar para resolver ecuaciones trigonométricas?
3. ¿Cuál es el rango y dominio de las funciones seno y coseno?
4. ¿Cómo se representan las soluciones trigonométricas en diferentes intervalos?
5. ¿Qué aplicaciones tienen las ecuaciones trigonométricas en la vida real?

### Tip

Cuando resuelvas ecuaciones trigonométricas, recuerda siempre considerar el rango de las funciones trigonométricas involucradas.

Learn how to solve the trigonometric equation cos(2x) = 1 + 4 sin(x) step-by-step. This problem involves using double angle identities for cosine and trigonometric simplification techniques. Suitable for advanced high school students.

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