resolver un triangulo que tiene dos lados de 5 y 11 cm respectivamente y uno de sus ángulos mide 120º

Para resolver un triángulo con dos lados conocidos y el ángulo entre ellos, utilizaremos la ley de los cosenos para encontrar el tercer lado. Luego, aplicaremos la ley de los senos para determinar los otros dos ángulos.

### Paso 1: Encontrar el tercer lado usando la ley de los cosenos

La ley de los cosenos dice que para un triángulo con lados \( a \), \( b \), y \( c \), y el ángulo \( \gamma \) opuesto al lado \( c \):

\[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\gamma) \]

Aquí, \( a = 5 \) cm, \( b = 11 \) cm y \( \gamma = 120^\circ \).

\[ c^2 = 5^2 + 11^2 - 2 \cdot 5 \cdot 11 \cdot \cos(120^\circ) \]

Sabemos que \( \cos(120^\circ) = -\frac{1}{2} \), entonces:

\[ c^2 = 25 + 121 - 2 \cdot 5 \cdot 11 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \]
\[ c^2 = 25 + 121 + 55 \]
\[ c^2 = 201 \]
\[ c = \sqrt{201} \approx 14.18 \text{ cm} \]

### Paso 2: Encontrar los otros dos ángulos usando la ley de los senos

La ley de los senos dice que para un triángulo con lados \( a \), \( b \), y \( c \) y ángulos \( \alpha \), \( \beta \), y \( \gamma \):

\[ \frac{a}{\sin(\alpha)} = \frac{b}{\sin(\beta)} = \frac{c}{\sin(\gamma)} \]

Ya tenemos \( \gamma = 120^\circ \), \( a = 5 \) cm, \( b = 11 \) cm y \( c = 14.18 \) cm. Usamos la relación:

\[ \frac{c}{\sin(\gamma)} = \frac{14.18}{\sin(120^\circ)} \]
Sabemos que \( \sin(120^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \):

\[ \frac{14.18}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{28.36}{\sqrt{3}} \]

Entonces, podemos encontrar \( \alpha \):

\[ \frac{5}{\sin(\alpha)} = \frac{28.36}{\sqrt{3}} \]
\[ \sin(\alpha) = \frac{5 \sqrt{3}}{28.36} \approx 0.305 \]
\[ \alpha \approx \sin^{-1}(0.305) \approx 17.82^\circ \]

Finalmente, encontramos \( \beta \) usando que la suma de los ángulos internos de un triángulo es \( 180^\circ \):

\[ \beta = 180^\circ - \gamma - \alpha \]
\[ \beta = 180^\circ - 120^\circ - 17.82^\circ \]
\[ \beta \approx 42.18^\circ \]

### Resumen de las soluciones

- Lados: \( a = 5 \) cm, \( b = 11 \) cm, \( c \approx 14.18 \) cm
- Ángulos: \( \alpha \approx 17.82^\circ \), \( \beta \approx 42.18^\circ \), \( \gamma = 120^\circ \)

¿Quieres detalles adicionales o tienes alguna pregunta?

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### Preguntas Relativas

1. ¿Cómo se utiliza la ley de los cosenos en triángulos con otros ángulos?
2. ¿Qué pasa si el ángulo dado es menor de 90° en la ley de los cosenos?
3. ¿Cómo se aplica la ley de los senos en triángulos no isósceles?
4. ¿Qué métodos alternativos existen para resolver un triángulo?
5. ¿Cómo se determina el área de un triángulo conociendo dos lados y el ángulo entre ellos?
6. ¿Qué diferencias hay entre los métodos de resolución de triángulos agudos y obtusos?
7. ¿Cómo influye el ángulo en la longitud del tercer lado en un triángulo?
8. ¿Qué herramientas tecnológicas pueden ayudar en la resolución de triángulos?

### Tip

Recuerda que para ángulos en radianes, las funciones trigonométricas utilizan el valor en radianes directamente.

Learn how to solve a triangle with known sides and angles (5 cm, 11 cm, 120°) using the Law of Cosines and the Law of Sines. Find the missing side and calculate the other two angles step-by-step. Suitable for advanced high school students.

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