come posso svolgere quest'equazione senza conoscere le equazioni di secondo grado?
x(x-20)=-84 con x>0

Per risolvere l'equazione \( x(x - 20) = -84 \) senza usare le equazioni di secondo grado, possiamo trasformarla in una forma che ci permetta di risolverla attraverso fattorizzazione o testando possibili valori di \( x \). Ecco il procedimento passo passo:

### 1. Espansione dell'equazione originale
L'equazione data è:

\[
x(x - 20) = -84
\]

Espandiamo il prodotto:

\[
x^2 - 20x = -84
\]

### 2. Trasformazione dell'equazione
Portiamo tutti i termini sul lato sinistro per ottenere:

\[
x^2 - 20x + 84 = 0
\]

### 3. Fattorizzazione
Ora cerchiamo di trovare due numeri che moltiplicati diano \( 84 \) e sommati diano \( -20 \). 

Dobbiamo quindi risolvere l'equazione in questa forma:

\[
x^2 - 20x + 84 = 0
\]

Questa equazione può essere vista come:

\[
(x - a)(x - b) = 0
\]

Dove \( a \) e \( b \) sono i numeri che stiamo cercando. Questi numeri devono soddisfare:

\[
a + b = 20
\]
\[
ab = 84
\]

### 4. Test dei valori possibili
Testiamo i numeri che moltiplicati danno 84:

- \( 1 \times 84 \)
- \( 2 \times 42 \)
- \( 3 \times 28 \)
- \( 4 \times 21 \)
- \( 6 \times 14 \)
- \( 7 \times 12 \)

Tra queste coppie, quella che soddisfa anche \( a + b = 20 \) è \( 6 \) e \( 14 \).

### 5. Risoluzione dell'equazione
Quindi possiamo scrivere:

\[
(x - 6)(x - 14) = 0
\]

Da qui, otteniamo due soluzioni:

\[
x - 6 = 0 \quad \text{oppure} \quad x - 14 = 0
\]

\[
x = 6 \quad \text{oppure} \quad x = 14
\]

### 6. Scelta della soluzione positiva
Dato che \( x > 0 \), entrambe le soluzioni sono valide, ma se consideriamo il contesto originale del problema (lato di un rettangolo), entrambe possono essere accettabili. Tuttavia, considerando che di solito si preferisce la soluzione più grande per \( x \) e la più piccola per \( y \), si sceglierà \( x = 14 \) e l'altra misura sarà \( y = 6 \).

### Conclusione:
Le soluzioni sono \( x = 14 \) e \( y = 6 \), che corrispondono alle dimensioni del rettangolo.

Hai altre domande su questo procedimento o un altro problema da risolvere?

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**Domande relative:**

1. Quali altri metodi esistono per risolvere equazioni quadratiche senza usare la formula risolutiva?
2. Come si può fattorizzare un'espressione quadratica in modo semplice?
3. Come si risolvono equazioni lineari senza grafici o calcolatrici?
4. Quali sono le differenze tra le soluzioni di equazioni quadratiche reali e immaginarie?
5. Come si può usare la fattorizzazione per risolvere equazioni più complesse?

**Tip:** Quando non conosci la formula risolutiva per le equazioni di secondo grado, prova a risolvere l'equazione testando vari numeri o usando la fattorizzazione.

Scopri come risolvere l'equazione x(x - 20) = -84 senza usare le equazioni di secondo grado. Segui una soluzione dettagliata che utilizza la fattorizzazione e il test dei valori possibili. Adatta per studenti delle scuole superiori.

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