Determinar si la ecuación 4x^2 - 20x - 24y + 97 = 0 representa una parábola, en caso afirmativo, obtener las coordenadas del vértice

La ecuación dada es:

\[
4x^2 - 20x - 24y + 97 = 0
\]

Primero, debemos analizar si esta ecuación corresponde a la de una parábola. La forma general de una parábola es:

\[
Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0
\]

Para que la ecuación represente una parábola, uno de los coeficientes \(A\) o \(C\) debe ser diferente de cero, y el otro debe ser igual a cero. Además, el coeficiente \(B\) debe ser cero, lo que significa que no hay un término mixto \(xy\).

En este caso, \(A = 4\), \(B = 0\), y \(C = 0\), lo que confirma que se trata de una parábola que abre en una dirección vertical u horizontal.

### Paso 1: Reorganizar la ecuación
Primero, reorganizamos la ecuación para completarla como un cuadrado.

\[
4x^2 - 20x = 24y - 97
\]

### Paso 2: Completar el cuadrado
Para completar el cuadrado en \(x\), tomamos el coeficiente de \(x\) que es \(-20\), lo dividimos por 2 y luego lo elevamos al cuadrado:

\[
\left(\frac{-20}{2}\right)^2 = 100
\]

Entonces, añadimos y restamos 100 en el lado izquierdo de la ecuación:

\[
4(x^2 - 5x + 25) - 100 = 24y - 97
\]

\[
4(x - 2.5)^2 - 100 = 24y - 97
\]

### Paso 3: Simplificar la ecuación
Ahora, movemos \( -100 \) al otro lado:

\[
4(x - 2.5)^2 = 24y + 3
\]

Dividimos toda la ecuación por 24:

\[
\frac{4}{24}(x - 2.5)^2 = y + \frac{3}{24}
\]

\[
\frac{1}{6}(x - 2.5)^2 = y + \frac{1}{8}
\]

Finalmente, escribimos la ecuación en la forma estándar de una parábola:

\[
y = \frac{1}{6}(x - 2.5)^2 - \frac{1}{8}
\]

### Paso 4: Identificar el vértice
La ecuación en la forma estándar es:

\[
y = a(x - h)^2 + k
\]

Donde \((h, k)\) son las coordenadas del vértice. En este caso, \(h = 2.5\) y \(k = -\frac{1}{8}\).

### Conclusión
La ecuación representa una parábola que abre hacia arriba, y las coordenadas del vértice son:

\[
(2.5, -\frac{1}{8})
\]

¿Te gustaría detalles adicionales o tienes alguna pregunta? Aquí tienes 5 preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se determina la dirección en la que abre una parábola?
2. ¿Qué significa completar el cuadrado en álgebra?
3. ¿Cómo encontrar el foco y la directriz de una parábola?
4. ¿Qué pasa si la parábola tiene un término lineal en \(y\) en lugar de \(x\)?
5. ¿Cómo se derivan las fórmulas para \(h\) y \(k\) en una parábola?

**Tip:** Al completar el cuadrado, recuerda siempre balancear la ecuación añadiendo o restando el mismo valor en ambos lados para mantener la igualdad.

Learn how to determine if the equation 4x^2 - 20x - 24y + 97 represents a parabola and find its vertex with a step-by-step solution. This problem covers the concepts of parabolas, completing the square, and vertex form. Suitable for high school students.

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