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El archivo contiene ejercicios sobre continuidad de funciones. A continuación, resolveré algunos de los ejercicios propuestos:

### **Ejercicio 1: Determinar si las funciones son continuas en \( x = 2 \). Justificar.**

a) \( f(x) = x^2 - 4x + 3 \)
   
   - **Paso 1:** Verificar si existe \( f(2) \):
     \[
     f(2) = 2^2 - 4(2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1
     \]

   - **Paso 2:** Calcular los límites laterales:
     \[
     \lim_{{x \to 2^-}} f(x) = \lim_{{x \to 2^+}} f(x) = f(2) = -1
     \]

   - **Conclusión:** La función es continua en \( x = 2 \) ya que \( \lim_{{x \to 2}} f(x) = f(2) = -1 \).

b) \( f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2} \)

   - **Paso 1:** Simplificar la función:
     \[
     f(x) = \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = x + 2 \quad \text{para} \quad x \neq 2
     \]
     \( f(x) \) no está definida en \( x = 2 \).

   - **Paso 2:** Calcular el límite:
     \[
     \lim_{{x \to 2}} f(x) = \lim_{{x \to 2}} (x + 2) = 4
     \]

   - **Conclusión:** La función tiene una discontinuidad en \( x = 2 \) porque \( f(2) \) no está definida.

c) \( g(x) = \frac{x^2 - 3}{x^2 - 4} \)
   
   - **Paso 1:** Verificar si existe \( g(2) \):
     \[
     g(2) = \frac{2^2 - 3}{2^2 - 4} = \frac{4 - 3}{4 - 4} = \frac{1}{0} \quad \text{(no está definida)}
     \]

   - **Paso 2:** Calcular el límite lateral:
     \[
     \lim_{{x \to 2}} g(x) \quad \text{no existe debido a la división entre cero}.
     \]

   - **Conclusión:** La función tiene una discontinuidad en \( x = 2 \).

### **Ejercicio 2: Continuidad en puntos específicos y eliminación de discontinuidades**

a) \( f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 
9 - x^2 & \text{si } x \leq 2 \\ 
x + 3 & \text{si } x > 2 
\end{array} \right. \) con \( a = 2 \)

   - **Paso 1:** Verificar \( f(2) \):
     \[
     f(2) = 9 - 2^2 = 9 - 4 = 5
     \]

   - **Paso 2:** Calcular los límites laterales:
     \[
     \lim_{{x \to 2^-}} f(x) = 5, \quad \lim_{{x \to 2^+}} f(x) = 2 + 3 = 5
     \]

   - **Conclusión:** La función es continua en \( x = 2 \).

### **Ejercicio 3: Determinación de \( k \) para la continuidad**

\( f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 
2x + 3 & \text{si } x < 4 \\ 
kx + 5 & \text{si } x \geq 4 
\end{array} \right. \)

- **Paso 1:** Verificar la continuidad en \( x = 4 \) requiere que:
  \[
  \lim_{{x \to 4^-}} f(x) = \lim_{{x \to 4^+}} f(x) = f(4)
  \]
  
- **Paso 2:** Cálculo de límites:
  \[
  \lim_{{x \to 4^-}} f(x) = 2(4) + 3 = 8 + 3 = 11
  \]
  \[
  \lim_{{x \to 4^+}} f(x) = 4k + 5
  \]
  Para que exista continuidad en \( x = 4 \):
  \[
  4k + 5 = 11 \implies 4k = 6 \implies k = \frac{6}{4} = 1.5
  \]

### **Conclusión**
La función será continua en \( x = 4 \) si \( k = 1.5 \).

¿Quieres más detalles sobre algún punto o tienes preguntas adicionales? Aquí tienes 5 preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se puede determinar si una discontinuidad es removible?
2. ¿Qué ocurre si una función no tiene límite en un punto específico?
3. ¿Qué tipos de discontinuidades existen en funciones?
4. ¿Cómo afectan las funciones a trozos a la continuidad?
5. ¿Qué significa que una función sea continua en un intervalo?

**Tip:** Para verificar la continuidad de una función en un punto, asegúrate de que el valor del límite coincida con el valor de la función en ese punto.

Explora y resuelve ejercicios sobre continuidad de funciones, incluyendo determinación de continuidad en puntos específicos y eliminación de discontinuidades. Incluye análisis detallado y ejemplos paso a paso para mejorar tu comprensión. Adecuado para estudiantes de nivel preparatoria avanzada.

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