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Para resolver el ejercicio de continuidad de funciones por tramos, sigamos los pasos indicados. La función \( f(x) \) está definida por tramos de la siguiente manera:

\[
f(x) = 
\begin{cases} 
3x^2 - 10 & \text{si } x \leq 2 \\
\frac{-3x^2 + 4x + 14}{2x + 1} & \text{si } 2 < x < 3 \\
2x^2 - 19 & \text{si } x \geq 3 
\end{cases}
\]

### Análisis de la continuidad en \( x = 2 \):

1. **Evaluar \( f(2) \)**:
   \[
   f(2) = 3(2)^2 - 10 = 3 \cdot 4 - 10 = 12 - 10 = 2
   \]

2. **Calcular el límite de \( f(x) \) cuando \( x \) se aproxima a 2 por la izquierda**:
   \[
   \lim_{x \to 2^-} f(x) = 3x^2 - 10 \quad \text{(ya que el tramo es válido hasta \( x = 2 \))}
   \]
   \[
   \lim_{x \to 2^-} (3(2)^2 - 10) = 3 \cdot 4 - 10 = 2
   \]

3. **Calcular el límite de \( f(x) \) cuando \( x \) se aproxima a 2 por la derecha**:
   \[
   \lim_{x \to 2^+} f(x) = \frac{-3x^2 + 4x + 14}{2x + 1}
   \]
   Sustituyendo \( x = 2 \):
   \[
   \lim_{x \to 2^+} \frac{-3(2)^2 + 4(2) + 14}{2(2) + 1} = \frac{-12 + 8 + 14}{4 + 1} = \frac{10}{5} = 2
   \]

4. **Conclusión sobre la continuidad en \( x = 2 \)**:
   \[
   \lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^+} f(x) = f(2) = 2 \quad \text{entonces, } f \text{ es continua en } x = 2.
   \]

### Análisis de la continuidad en \( x = 3 \):

1. **Evaluar \( f(3) \)**:
   \[
   f(3) = 2(3)^2 - 19 = 2 \cdot 9 - 19 = 18 - 19 = -1
   \]

2. **Calcular el límite de \( f(x) \) cuando \( x \) se aproxima a 3 por la izquierda**:
   \[
   \lim_{x \to 3^-} f(x) = \frac{-3x^2 + 4x + 14}{2x + 1}
   \]
   Sustituyendo \( x = 3 \):
   \[
   \lim_{x \to 3^-} \frac{-3(3)^2 + 4(3) + 14}{2(3) + 1} = \frac{-27 + 12 + 14}{6 + 1} = \frac{-1}{7} = -0.14
   \]

3. **Calcular el límite de \( f(x) \) cuando \( x \) se aproxima a 3 por la derecha**:
   \[
   \lim_{x \to 3^+} f(x) = 2x^2 - 19
   \]
   Sustituyendo \( x = 3 \):
   \[
   \lim_{x \to 3^+} (2(3)^2 - 19) = 2 \cdot 9 - 19 = 18 - 19 = -1
   \]

4. **Conclusión sobre la continuidad en \( x = 3 \)**:
   \[
   \lim_{x \to 3^-} f(x) \neq \lim_{x \to 3^+} f(x) \quad \text{entonces, } f \text{ no es continua en } x = 3.
   \]

### Resumen de resultados:

- En \( x = 2 \):
  - \( f(2) = 2 \)
  - \( \lim_{x \to 2^-} f(x) = 2 \)
  - \( \lim_{x \to 2^+} f(x) = 2 \)
  - \( f \) es continua en \( x = 2 \).

- En \( x = 3 \):
  - \( f(3) = -1 \)
  - \( \lim_{x \to 3^-} f(x) = -0.14 \)
  - \( \lim_{x \to 3^+} f(x) = -1 \)
  - \( f \) no es continua en \( x = 3 \).

¿Necesitas algún detalle adicional o tienes alguna pregunta sobre los pasos realizados?

Aquí tienes 5 preguntas para explorar más temas:

1. ¿Cómo se determina la derivabilidad de una función en un punto?
2. ¿Qué es una función continua por tramos?
3. ¿Cómo se aplica el teorema del valor medio en funciones continuas?
4. ¿Qué diferencia hay entre continuidad y derivabilidad?
5. ¿Cómo se resuelven límites indeterminados?

**Tip**: Al estudiar continuidad de funciones, es útil revisar los límites laterales y comparar los resultados con el valor de la función en el punto de interés.

Explore the continuity of piecewise functions with a detailed analysis of examples and step-by-step solutions. Learn about limits, evaluating function continuity at specific points, and more. Suitable for advanced high school students.

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