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necesito que me resuelvas los siguientes ejercicios

Para resolver los ejercicios presentados en las imágenes, sigamos los siguientes pasos:

### Paso 1: Completar la tabla

Primero, identifiquemos las áreas de cada parte del recipiente y sus costos:

- **Base (Azul):**
  - Área: $A_{\text{base}} = x \cdot 2x = 2x^2 $
  - Costo unitario: $4700/m^2
  - Costo total: $C_{\text{base}} = 4700 \cdot 2x^2 = 9400x^2$

- **4 Caras laterales (Verde):**
  - Área: Hay 4 caras, cada una de $ x \cdot y $ y dos de $2x \cdot y$
    - Área total = $2xy + 2(2x)y = 6xy$
  - Costo unitario: $3100/m^2
  - Costo total: $C_{\text{lateral}} = 3100 \cdot 6xy = 18600xy$

### Paso 2: Expresión del costo total en función de $x$

La expresión del costo total es la suma de los costos de las áreas de la base y las caras laterales:

\[ C_{\text{total}} = 9400x^2 + 18600xy \]

### Paso 3: Calcular el valor de $x$

Dado que el volumen del recipiente es 27 $m^3$:

\[ x \cdot 2x \cdot y = 27 \]
\[ 2x^2y = 27 \]
\[ y = \frac{27}{2x^2} \]

Sustituyendo $y$ en la expresión del costo total:

\[ C_{\text{total}} = 9400x^2 + 18600x \left(\frac{27}{2x^2}\right) \]
\[ C_{\text{total}} = 9400x^2 + 18600 \left(\frac{27}{2x}\right) \]
\[ C_{\text{total}} = 9400x^2 + 18600 \cdot \frac{27}{2x} \]
\[ C_{\text{total}} = 9400x^2 + \frac{18600 \cdot 27}{2x} \]
\[ C_{\text{total}} = 9400x^2 + \frac{251100}{x} \]

Para minimizar el costo, derivamos respecto a $x$ y igualamos a cero:

\[ \frac{dC_{\text{total}}}{dx} = 18800x - \frac{251100}{x^2} = 0 \]
\[ 18800x = \frac{251100}{x^2} \]
\[ 18800x^3 = 251100 \]
\[ x^3 = \frac{251100}{18800} \]
\[ x^3 = 13.36 \]
\[ x = \sqrt[3]{13.36} \]
\[ x \approx 2.369 \]

### Paso 4: Calcular el valor de $y$

Usamos el valor de $x$ en la ecuación del volumen para encontrar $y$:

\[ y = \frac{27}{2 \cdot (2.369)^2} \]
\[ y \approx 2.413 \]

### Paso 5: Calcular el costo mínimo del recipiente

Sustituimos los valores de $x$ y $y$ en la expresión del costo total:

\[ C_{\text{total}} = 9400 \cdot (2.369)^2 + \frac{251100}{2.369} \]
\[ C_{\text{total}} \approx 52607 + 105999 \]
\[ C_{\text{total}} \approx 158606 \]

Por lo tanto, el costo mínimo del recipiente es aproximadamente $158,606.

### Resumen:

1. **Expresión del costo total en función de $x$:**
   \[ 9400x^2 + \frac{251100}{x} \]

2. **Valor de $x$:** $2.369$ metros

3. **Valor de $y$:** $2.413$ metros

4. **Costo mínimo del recipiente:** $158606$ pesos

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¿Deseas alguna explicación más detallada o tienes alguna otra pregunta? Aquí hay algunas preguntas adicionales que podrías hacer:

1. ¿Cómo derivar funciones algebraicas?
2. ¿Cómo optimizar funciones de costo?
3. ¿Qué son las restricciones en problemas de optimización?
4. ¿Cómo se aplica el cálculo diferencial en problemas prácticos?
5. ¿Qué técnicas se usan para resolver ecuaciones cúbicas?

**Tip:** En problemas de optimización, siempre asegúrate de comprobar que has encontrado un mínimo o máximo local mediante la segunda derivada.

Learn how to optimize the cost of a rectangular prism with a detailed step-by-step solution. This problem covers volume calculation, cost function optimization using derivative calculus, and practical applications of mathematical optimization. Suitable for advanced high school students.

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