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resolva esta questão com os cálculos completos 

Vamos resolver a questão completa, começando com cada item:

### Questão 3:
#### Informações dadas:
- A embalagem atual tem a forma de um paralelepípedo com base retangular de **2 cm x 3 cm** e altura de **18 cm**.
- Dois tipos de materiais são utilizados:
  1. O material da base e laterais custa **R$ 10,00/m²**.
  2. O material da tampa custa **R$ 40,00/m²**.

### Parte a) Cálculo do custo atual para construir 100 embalagens

#### 1. Área da embalagem atual:
A embalagem é um paralelepípedo, então vamos calcular a área de cada face:
- Área da base = $2 \, cm \times 3 \, cm = 6 \, cm²$
- Área da lateral (frente e costas) = $2 \, cm \times 18 \, cm = 36 \, cm²$
- Área das laterais (esquerda e direita) = $3 \, cm \times 18 \, cm = 54 \, cm²$
- Área da tampa = mesma que a base $= 6 \, cm²$

Total de área de material simples (base + laterais):
\[
\text{Área total do material simples} = 2 \times (36 + 54) = 180 \, cm² = 0,018 \, m²
\]
Total de área de material resistente (tampa):
\[
\text{Área total da tampa} = 6 \, cm² = 0,0006 \, m²
\]

#### 2. Custo para uma embalagem:
- Custo do material simples por embalagem:
\[
0,018 \, m² \times R\$ 10,00/m² = R\$ 0,18
\]
- Custo do material resistente por embalagem:
\[
0,0006 \, m² \times R\$ 40,00/m² = R\$ 0,024
\]
- Custo total por embalagem:
\[
R\$ 0,18 + R\$ 0,024 = R\$ 0,204
\]

#### 3. Custo para 100 embalagens:
\[
R\$ 0,204 \times 100 = R\$ 20,40
\]

### Parte b) Nova embalagem com base quadrada e mesma capacidade volumétrica

#### 1. Volume da embalagem atual:
Volume do paralelepípedo atual:
\[
V = \text{base} \times \text{altura} = (2 \, cm \times 3 \, cm) \times 18 \, cm = 108 \, cm³
\]

#### 2. Dimensões da nova embalagem:
A nova embalagem terá formato de paralelepípedo com base quadrada de lado $x$ e altura $12 \, cm$. O volume deve ser igual ao da embalagem atual.
\[
V = x^2 \times 12 = 108 \, cm³
\]
Resolvendo para $x$:
\[
x^2 = \frac{108}{12} = 9
\]
\[
x = \sqrt{9} = 3 \, cm
\]
Portanto, as novas dimensões são:
- Base: $3 \, cm \times 3 \, cm$
- Altura: $12 \, cm$

#### 3. Área da nova embalagem:
- Área da base = $3 \, cm \times 3 \, cm = 9 \, cm²$
- Área da lateral (4 lados) = $4 \times (3 \, cm \times 12 \, cm) = 144 \, cm²$
- Área da tampa = $9 \, cm²$

Total de área de material simples (base + laterais):
\[
\text{Área total do material simples} = 144 + 9 = 153 \, cm² = 0,0153 \, m²
\]
Total de área de material resistente (tampa):
\[
\text{Área da tampa} = 9 \, cm² = 0,0009 \, m²
\]

#### 4. Custo total para uma nova embalagem:
- Custo do material simples:
\[
0,0153 \, m² \times R\$ 10,00/m² = R\$ 0,153
\]
- Custo do material resistente:
\[
0,0009 \, m² \times R\$ 40,00/m² = R\$ 0,036
\]
- Custo total por embalagem:
\[
R\$ 0,153 + R\$ 0,036 = R\$ 0,189
\]

#### 5. Custo para 100 novas embalagens:
\[
R\$ 0,189 \times 100 = R\$ 18,90
\]

### Resumo:
- Custo atual para 100 embalagens: **R\$ 20,40**.
- Custo para 100 novas embalagens: **R\$ 18,90**.

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Deseja mais detalhes sobre algum passo ou tem alguma dúvida?

Aqui estão 5 perguntas relacionadas para aprofundar o entendimento:

1. Como o cálculo da área do paralelepípedo foi feito para as faces laterais?
2. Qual é a importância de manter o volume constante nas novas embalagens?
3. Como diferentes materiais afetam o custo total da produção?
4. O que aconteceria se as novas embalagens tivessem uma altura diferente?
5. Como se poderia otimizar ainda mais o custo das embalagens?

**Dica:** Ao projetar embalagens, a forma e os materiais podem ser ajustados para minimizar custos sem comprometer a capacidade.

Um fabricante de medicamentos está modificando as dimensões da embalagem de certo produto. Atualmente, as embalagens desse produto têm o formato de um paralelepípedo com 18 cm de altura e com base retangular de 2 cm X 3 cm. Sabe-se que são utilizados dois tipos de materiais para construir a embalagem. O material utilizado tanto para a base quanto para a lateral é mais simples e custa R$ 10,00 o metro quadrado. O material utilizado para a tampa é mais resistente e custa R$ 40,00 o metro quadrado.

Então responda:
a) Qual o custo atual do material para construir 100 embalagens?
b) Para facilitar as questões de logística, as novas embalagens devem ter o formato de um paralelepípedo com base quadrada e com altura de 12 cm, e precisam ter a mesma capacidade volumétrica que as embalagens atuais. Diante disso, qual as dimensões da nova embalagem e o custo total delas, considerando os mesmos materiais para produção?

Solve a complex geometric problem involving surface area, volume calculation, and cost estimation. Learn how to calculate the cost of material for 100 rectangular packaging boxes and determine the dimensions of a new package with a square base while maintaining the same volume. This problem is suitable for students in Grades 10-12 and covers geometry, unit conversion, and cost optimization.

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