Una escuela debe transportar 200 estudiantes a un evento. Hay disponibles tanto autobuses grandes como pequeños. Un autobús grande tiene capacidad para 50 personas y alquilarlo para el evento cuesta $800. Un autobús pequeño tiene capacidad para 40 personas y alquilarlo para el evento cuesta $600. Hay 8 conductores disponibles el día del evento.


•	Encuentra la combinación de autobuses que puedan transportar a los 200 estudiantes al menor costo posible utilizando no más de 8 conductores. 
•	Escribe la función objetivo y cuantifique las restricciones como desigualdades.
La función objetivo es minimizar el costo total, que es:
•	Verifica que el problema se puede resolver utilizando la programación lineal.
•	Grafica el sistema de desigualdades lineales. Identifique la región viable y los vértices.
•	Sustituye los vértices en la función objetivo para determinar las soluciones que brindan la solución mínima o máxima.
•	Interpreta la solución en términos de otras variables de decisión.


Este problema de transporte de estudiantes se puede resolver utilizando programación lineal. La programación lineal es una técnica matemática que permite optimizar una función objetivo sujeta a un conjunto de restricciones.

### 1. Definición de variables de decisión:
- $ x $: número de autobuses grandes utilizados.
- $ y $: número de autobuses pequeños utilizados.

### 2. Función objetivo:
Queremos minimizar el costo total de alquilar los autobuses. La función objetivo se expresa como:

\[
\text{Minimizar } Z = 800x + 600y
\]

donde $ Z $ es el costo total.

### 3. Restricciones:
Las restricciones se derivan de las capacidades de los autobuses, la cantidad de estudiantes y el número de conductores disponibles.

#### a. Restricción de capacidad de estudiantes:
La cantidad total de estudiantes que pueden ser transportados por los autobuses debe ser al menos 200:

\[
50x + 40y \geq 200
\]

#### b. Restricción de conductores:
No se pueden utilizar más de 8 conductores:

\[
x + y \leq 8
\]

#### c. Restricciones no-negativas:
Las variables de decisión no pueden ser negativas:

\[
x \geq 0 \quad \text{y} \geq 0
\]

### 4. Comprobación de resolución mediante programación lineal:
Este problema es un ejemplo clásico de programación lineal porque cumple con las condiciones necesarias:
- La función objetivo es lineal.
- Las restricciones son desigualdades lineales.

### 5. Gráfico del sistema de desigualdades:
Para graficar las restricciones, primero encontraremos las intersecciones de las líneas correspondientes a las restricciones.

#### a. Graficar la restricción de capacidad de estudiantes:

\[
50x + 40y = 200
\]
Dividimos ambos lados por 10 para simplificar:
\[
5x + 4y = 20
\]
- Intersección con el eje $x$ (cuando $y = 0$):
  \[
  5x = 20 \quad \Rightarrow \quad x = 4
  \]
- Intersección con el eje $y$ (cuando $x = 0$):
  \[
  4y = 20 \quad \Rightarrow \quad y = 5
  \]

#### b. Graficar la restricción de conductores:
\[
x + y = 8
\]
- Intersección con el eje $x$ (cuando $y = 0$):
  \[
  x = 8
  \]
- Intersección con el eje $y$ (cuando $x = 0$):
  \[
  y = 8
  \]

La región viable es el área donde se superponen las dos restricciones en el primer cuadrante (donde $x \geq 0$ y $y \geq 0$).

### 6. Cálculo de los vértices de la región factible:
Los vértices son los puntos de intersección de las líneas que delimitan la región viable:

1. Intersección entre $ 5x + 4y = 20 $ y $ x + y = 8 $.
2. Intersección en $x$ donde $5x + 4(0) = 20 $ (es decir, $x = 4$).
3. Intersección en $y$ donde $4(0) + 4y = 20$ (es decir, $y = 5$).
4. Intersección en el eje donde $ x + y = 8$.

Calculamos los puntos (vértices) y evaluamos la función objetivo en cada uno de estos vértices.

### 7. Sustitución de vértices en la función objetivo:
- Vértice 1: $ (x, y) = (4, 0) $
  \[
  Z = 800(4) + 600(0) = 3200
  \]

- Vértice 2: $ (x, y) = (0, 5) $
  \[
  Z = 800(0) + 600(5) = 3000
  \]

- Vértice 3: Intersección de $5x + 4y = 20$ y $x + y = 8$.
  Resolvemos el sistema de ecuaciones:
  \[
  5x + 4y = 20
  \]
  \[
  x + y = 8
  \]

  Usamos sustitución o eliminación. Multiplicamos la segunda ecuación por 4:
  \[
  4x + 4y = 32
  \]
  Restamos la primera ecuación de la segunda:
  \[
  -x = 12 \quad \Rightarrow \quad x = -12
  \]
  Como $x$ no puede ser negativo, descartamos esta solución y continuamos con los vértices válidos.

### 8. Interpretación de la solución:
La combinación que minimiza el costo es utilizar 5 autobuses pequeños y ningún autobús grande, lo que nos da un costo mínimo de $3000.

### Preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se determina la región factible en un problema de programación lineal?
2. ¿Qué sucede si se cambia el número de conductores disponibles a 10?
3. ¿Cómo afecta una variación en los costos de los autobuses a la solución óptima?
4. ¿Qué se podría hacer si se tuviera un número ilimitado de autobuses y conductores?
5. ¿Cómo influye el número total de estudiantes en la solución?
6. ¿Podrías resolver el problema si uno de los autobuses fuera de 60 personas?
7. ¿Qué sucede si la restricción de conductores es menor, por ejemplo, 6 conductores?
8. ¿Cuál sería la interpretación económica si uno de los autobuses tuviera un costo mayor o menor?

**Tip:** Asegúrate de graficar las restricciones correctamente, ya que la región viable solo incluirá soluciones que satisfagan todas las restricciones simultáneamente.

Learn how to minimize transportation costs for 200 students using linear programming. This problem involves optimizing bus usage, considering costs, student capacities, and driver availability. Suitable for high school students studying linear programming and optimization.

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