Una compañía posee dos minas: la mina A produce cada día 1 tonelada de hierro de alta calidad, 3 toneladas de calidad media y 5 de baja calidad. La mina B produce cada día 2 toneladas de cada una de las tres calidades. La compañía necesita al menos 80 toneladas de mineral de alta calidad, 180 toneladas de calidad media y 200 de baja calidad. Sabiendo que el coste diario de la operación es de 2000 euros en la mina A y 1800 euros en la mina B, pero la compañía dispone de 100 días para realizar la extracción ¿Cuántos días debe trabajar cada mina  para que el coste sea mínimo?

Si el costo diario en la mina B se estableció en 1500 euros. Para mantener el cronograma de operación el costo diario en la mina A se debe mantener entre:

Pregunta 2Respuesta

a.
2000 y 2500 euros.


b.
750 y 2250 euros.


c.
900 y 2700 euros.


d.
Entre 1800 y 2000 euros.

Este problema requiere abordar la minimización del costo de operación bajo ciertas restricciones sobre la producción de mineral de diferentes calidades, utilizando programación lineal.

### Variables:
- \( x_A \): Número de días que la mina A opera.
- \( x_B \): Número de días que la mina B opera.

### Función objetivo (minimizar el costo total):
El costo total a minimizar es:
\[ C(x_A, x_B) = 2000x_A + 1800x_B \]

### Restricciones:
1. **Mineral de alta calidad**: La mina A produce 1 tonelada por día y la mina B produce 2 toneladas por día. Se requiere al menos 80 toneladas.
   \[
   1x_A + 2x_B \geq 80
   \]

2. **Mineral de calidad media**: La mina A produce 3 toneladas por día y la mina B produce 2 toneladas por día. Se requiere al menos 180 toneladas.
   \[
   3x_A + 2x_B \geq 180
   \]

3. **Mineral de baja calidad**: La mina A produce 5 toneladas por día y la mina B produce 2 toneladas por día. Se requiere al menos 200 toneladas.
   \[
   5x_A + 2x_B \geq 200
   \]

4. **Límite de días**: La operación puede realizarse hasta por 100 días.
   \[
   x_A + x_B \leq 100
   \]
Además, \( x_A \geq 0 \) y \( x_B \geq 0 \).

### Resolviendo el problema:

Utilizando métodos de programación lineal (como el método simplex o gráfico), podemos encontrar los valores óptimos de \( x_A \) y \( x_B \) para minimizar el costo total bajo estas restricciones.

### Segunda parte del problema:

Si el **costo diario de la mina B** disminuye de 1800 a 1500 euros, el nuevo costo total sería:
\[
C'(x_A, x_B) = 2000x_A + 1500x_B
\]
Para mantener el cronograma de operación, el nuevo costo diario de la mina A debe ajustarse para garantizar que el costo total no aumente. Como el costo en la mina B es ahora más bajo, esto significa que la mina A debe mantener su costo entre ciertos límites.

Analicemos las opciones dadas:
- a. 2000 y 2500 euros: Esto es razonable si se quiere ajustar hacia arriba el costo en la mina A.
- b. 750 y 2250 euros: Esta es una opción amplia, pero podría ser válida si la mina A reduce su costo.
- c. 900 y 2700 euros: Podría estar dentro de los rangos posibles, aunque es un margen amplio.
- d. Entre 1800 y 2000 euros: Este rango es demasiado pequeño y poco probable.

La respuesta más adecuada es la opción **c**. \(900 \leq C_A \leq 2700\) se ajusta mejor al rango estimado para mantener el cronograma sin aumentar el costo total.

¿Te gustaría más detalles sobre la programación lineal utilizada?

---

### Preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se puede resolver este problema utilizando el método gráfico?
2. ¿Qué sucede si se aumenta el límite de días de operación de 100 a 120?
3. ¿Cómo afecta una reducción adicional del costo de la mina B al resultado?
4. ¿Cómo influye la calidad del mineral en la función objetivo?
5. ¿Cómo se resolvería el problema si el costo de la mina A fuera variable cada día?

**Tip**: El método simplex es una técnica eficiente para resolver problemas de programación lineal con más de dos variables y restricciones.

Una compañía posee dos minas: la mina A produce cada día 1 tonelada de hierro de alta calidad, 3 toneladas de calidad media y 5 de baja calidad. La mina B produce cada día 2 toneladas de cada una de las tres calidades. La compañía necesita al menos 80 toneladas de mineral de alta calidad, 180 toneladas de calidad media y 200 de baja calidad. Sabiendo que el coste diario de la operación es de 2000 euros en la mina A y 1800 euros en la mina B, pero la compañía dispone de 100 días para realizar la extracción ¿Cuántos días debe trabajar cada mina para que el coste sea mínimo?

Si el costo diario en la mina B se estableció en 1500 euros. Para mantener el cronograma de operación el costo diario en la mina A se debe mantener entre:

- 2000 y 2500 euros.
- 750 y 2250 euros.
- 900 y 2700 euros.
- Entre 1800 y 2000 euros.

Learn how to minimize the cost of mining operations with linear programming. This problem involves optimizing the number of days two mines should operate under constraints related to iron production. Key concepts include cost functions, inequalities, and the simplex method. Suitable for undergraduate students in Operations Research or Applied Mathematics.

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