Una pieza larga y rectangular de 30 cm de ancho va a convertirse en un canal para agua doblando hacia arriba dos de sus lados hasta formar ángulos rectos con la base. ¿Cuál debe ser el ancho de las partes dobladas para que el canal tenga una capacidad máxima?

Para resolver este problema, primero definiremos las variables involucradas y luego derivaremos la fórmula de la capacidad del canal para maximizarla.

### Paso 1: Definir las variables
- Sea \( w \) el ancho de las partes dobladas hacia arriba (que serán las paredes del canal).
- El ancho de la base del canal, que queda después de doblar, será \( 30 - 2w \).
- La altura del canal es \( w \).

### Paso 2: Expresar el volumen del canal
El volumen \( V \) del canal se puede expresar como el área de la base multiplicada por la altura \( w \):
\[
V(w) = \text{base} \times \text{altura} \times \text{largo}
\]
Dado que el largo del canal es constante y no afecta el problema de maximización, podemos expresarlo como:
\[
V(w) = (30 - 2w) \times w
\]
Desarrollando la expresión:
\[
V(w) = 30w - 2w^2
\]

### Paso 3: Maximizar el volumen
Para encontrar el valor de \( w \) que maximiza el volumen, derivamos \( V(w) \) con respecto a \( w \) y la igualamos a cero:
\[
V'(w) = 30 - 4w
\]
Igualando a cero para encontrar el valor crítico:
\[
30 - 4w = 0
\]
\[
4w = 30
\]
\[
w = \frac{30}{4} = 7.5 \text{ cm}
\]

### Paso 4: Verificar que es un máximo
Para confirmar que este valor de \( w \) corresponde a un máximo, podemos observar la segunda derivada:
\[
V''(w) = -4
\]
Dado que \( V''(w) = -4 \) es negativa, esto confirma que \( w = 7.5 \) cm proporciona un máximo para el volumen.

### Conclusión
El ancho de las partes dobladas debe ser de \( 7.5 \) cm para que el canal tenga la capacidad máxima.

¿Quieres más detalles o tienes alguna pregunta?

Aquí tienes 5 preguntas relacionadas:
1. ¿Qué ocurriría si la anchura inicial de la pieza fuera diferente?
2. ¿Cómo se afectaría el volumen máximo si se cambia el grosor del material?
3. ¿Qué otras formas podrían maximizar la capacidad de un canal hecho con un material similar?
4. ¿Cómo influiría una altura máxima permitida en el diseño del canal?
5. ¿Qué métodos se pueden usar para resolver problemas de maximización en geometría?

**Tip:** Al maximizar volúmenes o áreas, es útil usar derivadas para encontrar los puntos críticos y asegurarse de verificar si estos puntos son máximos o mínimos mediante la segunda derivada.

Learn how to maximize the capacity of a water channel formed by folding a 30 cm wide rectangular piece. Discover the optimal width for the folded parts to achieve maximum volume. Suitable for high school students studying geometry and optimization problems.

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