1. Se quiere construir una caja sin tapa a partir de una hoja de cartón de 20x10cm. 
Para ello, se corta un cuadrado de lado L en cada esquina y se dobla la hoja 
levantando los cuatro laterales de la caja. 
Determinar las dimensiones de la caja para que su volumen sea máximo si el lado L 
debe medir entre 2 y 3 cm (2 ≤ L ≤ 3).

Para maximizar el volumen de una caja sin tapa a partir de una hoja de cartón de 20 cm de largo y 10 cm de ancho, cuando se cortan cuadrados de lado \( L \) en las esquinas, se debe resolver un problema de optimización con restricciones.

### 1. Dimensiones de la caja
La hoja de cartón original mide 20 cm por 10 cm, y se cortan cuadrados de lado \( L \) en las esquinas. Entonces, después de los cortes y los dobleces, las dimensiones de la base de la caja serán:

- Largo de la base: \( 20 - 2L \)
- Ancho de la base: \( 10 - 2L \)

La altura de la caja será \( L \), ya que es el lado de los cuadrados que se doblan para formar los laterales.

### 2. Fórmula del volumen
El volumen \( V \) de la caja se calcula como:

\[
V(L) = \text{largo} \times \text{ancho} \times \text{altura} = (20 - 2L)(10 - 2L)L
\]

Expandiendo esta expresión, obtenemos:

\[
V(L) = L(20 - 2L)(10 - 2L) = L(200 - 40L - 20L + 4L^2)
\]
\[
V(L) = L(200 - 60L + 4L^2)
\]
\[
V(L) = 200L - 60L^2 + 4L^3
\]

### 3. Derivada del volumen
Para maximizar el volumen, derivamos \( V(L) \) respecto a \( L \) y encontramos los puntos críticos:

\[
\frac{dV}{dL} = 200 - 120L + 12L^2
\]

Ahora, resolvemos \( \frac{dV}{dL} = 0 \) para encontrar los valores de \( L \) que maximizan el volumen:

\[
200 - 120L + 12L^2 = 0
\]

### 4. Resolviendo la ecuación cuadrática
Simplificamos la ecuación cuadrática:

\[
12L^2 - 120L + 200 = 0
\]

Dividimos entre 4 para simplificar:

\[
3L^2 - 30L + 50 = 0
\]

Usamos la fórmula general para resolver esta ecuación cuadrática:

\[
L = \frac{-(-30) \pm \sqrt{(-30)^2 - 4(3)(50)}}{2(3)}
\]
\[
L = \frac{30 \pm \sqrt{900 - 600}}{6}
\]
\[
L = \frac{30 \pm \sqrt{300}}{6}
\]
\[
L = \frac{30 \pm 10\sqrt{3}}{6}
\]
\[
L = 5 \pm \frac{\sqrt{3}}{3}
\]

Obtenemos dos soluciones aproximadas:

\[
L_1 \approx 2.577 \quad \text{y} \quad L_2 \approx 7.423
\]

### 5. Restricción: \( 2 \leq L \leq 3 \)
Dado que \( L \) debe estar entre 2 y 3, la única solución válida es \( L \approx 2.577 \).

### 6. Dimensiones de la caja
Sustituyendo \( L \approx 2.577 \) en las dimensiones de la caja:

- Largo de la base: \( 20 - 2(2.577) \approx 14.846 \, \text{cm} \)
- Ancho de la base: \( 10 - 2(2.577) \approx 4.846 \, \text{cm} \)
- Altura: \( L \approx 2.577 \, \text{cm} \)

### 7. Conclusión
Las dimensiones de la caja que maximizan el volumen son aproximadamente:

- **Largo**: 14.85 cm
- **Ancho**: 4.85 cm
- **Altura**: 2.58 cm

El volumen máximo se obtiene cuando \( L \approx 2.577 \).

---

¿Te gustaría más detalles sobre el cálculo del volumen o cómo derivar otras posibles soluciones?

### Preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se derivan ecuaciones cúbicas en problemas de optimización?
2. ¿Qué sucede si el tamaño de la hoja cambia? ¿Cómo afecta el volumen?
3. ¿Qué papel juega el intervalo de restricciones en el valor de \( L \)?
4. ¿Cómo influye la derivada de segundo orden en determinar si el volumen es máximo o mínimo?
5. ¿Qué aproximaciones numéricas se pueden usar para resolver \( \sqrt{3} \)?

**Tip**: En problemas de optimización con restricciones, siempre verifica si las soluciones caen dentro del intervalo permitido.

Se quiere construir una caja sin tapa a partir de una hoja de cartón de 20x10cm. Para ello, se corta un cuadrado de lado L en cada esquina y se dobla la hoja levantando los cuatro laterales de la caja. Determinar las dimensiones de la caja para que su volumen sea máximo si el lado L debe medir entre 2 y 3 cm (2 ≤ L ≤ 3).

Learn how to determine the dimensions of a box without a lid, created from a 20x10 cm cardboard sheet, to maximize its volume. This problem involves cutting squares from each corner, calculating volume, and solving a quadratic equation to find the optimal side length. Suitable for high school students in Grades 10-12.

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