Se quiere fabricar una caja abierta (sin tapa), de un trozo de cartón de 26 cm de largo y 40 cm de ancho. Para esto, se quita un cuadrado de cada esquina y las solapas sobresalientes, se doblan hacia arriba.
a-¿Cuáles serán las dimensiones de la pieza cuadrada que hay que cortar, para obtener un máximo volumen?
b-¿Cuál será el volumen máximo de la caja?

Para resolver este problema, vamos a determinar las dimensiones del cuadrado que se debe cortar de cada esquina para maximizar el volumen de la caja resultante.

Denotemos:
- \( x \) como el lado del cuadrado que se corta de cada esquina.

### Dimensiones de la caja

Después de cortar los cuadrados de cada esquina y doblar las solapas hacia arriba, las dimensiones de la caja serán:

- Largo: \( 40 - 2x \)
- Ancho: \( 26 - 2x \)
- Altura: \( x \)

### Volumen de la caja

El volumen \( V \) de la caja se puede expresar como:

\[ V(x) = (40 - 2x)(26 - 2x)x \]

Expandiendo la expresión:

\[ V(x) = (40 - 2x)(26 - 2x)x = x (1040 - 80x - 52x + 4x^2) = 4x^3 - 132x^2 + 1040x \]

### Maximización del volumen

Para encontrar el valor de \( x \) que maximiza el volumen, primero encontramos la derivada de \( V(x) \) y luego la igualamos a cero.

\[ V'(x) = 12x^2 - 264x + 1040 \]

Igualamos a cero para encontrar los puntos críticos:

\[ 12x^2 - 264x + 1040 = 0 \]

Resolviendo esta ecuación cuadrática usando la fórmula cuadrática:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

donde \( a = 12 \), \( b = -264 \) y \( c = 1040 \):

\[ x = \frac{264 \pm \sqrt{(-264)^2 - 4 \cdot 12 \cdot 1040}}{2 \cdot 12} \]
\[ x = \frac{264 \pm \sqrt{69696 - 49920}}{24} \]
\[ x = \frac{264 \pm \sqrt{19776}}{24} \]
\[ x = \frac{264 \pm 140.59}{24} \]

Las dos soluciones son:

\[ x = \frac{264 + 140.59}{24} = 16.85 \]
\[ x = \frac{264 - 140.59}{24} = 5.14 \]

Debemos verificar si estas soluciones están dentro del dominio válido para \( x \):

- \( 0 < x < \frac{26}{2} = 13 \)
- \( 0 < x < \frac{40}{2} = 20 \)

Solo \( x = 5.14 \) está dentro de este rango.

### Volumen máximo

Sustituimos \( x = 5.14 \) en la expresión del volumen para encontrar el volumen máximo:

\[ V(5.14) = 4(5.14)^3 - 132(5.14)^2 + 1040(5.14) \]
\[ V(5.14) \approx 4(136) - 132(26.4196) + 1040(5.14) \]
\[ V(5.14) \approx 544 - 3487.39 + 5345.6 \]
\[ V(5.14) \approx 2402.21 \, \text{cm}^3 \]

### Resumen

a. Las dimensiones del cuadrado que se debe cortar de cada esquina para obtener el máximo volumen son \( 5.14 \, \text{cm} \).

b. El volumen máximo de la caja es aproximadamente \( 2402.21 \, \text{cm}^3 \).

¿Deseas más detalles sobre el proceso o tienes alguna pregunta adicional?

Aquí tienes algunas preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se derivan las fórmulas para el volumen de sólidos?
2. ¿Cómo se utilizan las derivadas para encontrar máximos y mínimos de funciones?
3. ¿Qué otras aplicaciones prácticas tiene el cálculo de volúmenes?
4. ¿Qué es la fórmula cuadrática y cuándo se usa?
5. ¿Cómo se determina el dominio válido de una función en problemas de maximización?
6. ¿Qué significan las soluciones fuera del dominio en problemas prácticos?
7. ¿Cómo afecta la precisión de las soluciones a los resultados finales?
8. ¿Cuáles son las propiedades de las funciones cúbicas y sus derivadas?

**Tip:** Siempre verifica si las soluciones obtenidas están dentro del dominio del problema para asegurarte de que son válidas en el contexto práctico.

Learn how to maximize the volume of an open cardboard box cut from a 26 cm by 40 cm piece of cardboard. Discover the optimal square dimensions to cut from each corner and calculate the maximum volume achievable. Suitable for high school students and advanced learners.

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