Para encontrar la derivada de la función 

\[
\gamma = \left(x^2 - 1\right)^{\ln(x^2 - 1)}
\]

con respecto a \(x\), podemos aplicar la técnica de la diferenciación logarítmica, que es útil cuando se tiene una función donde la variable aparece tanto en la base como en el exponente.

### Paso 1: Aplicar logaritmo natural a ambos lados

Tomamos el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación:

\[
\ln(\gamma) = \ln\left[\left(x^2 - 1\right)^{\ln(x^2 - 1)}\right]
\]

Aplicando la propiedad de los logaritmos \(\ln(a^b) = b \ln(a)\), tenemos:

\[
\ln(\gamma) = \ln(x^2 - 1) \cdot \ln(x^2 - 1) = [\ln(x^2 - 1)]^2
\]

### Paso 2: Diferenciar implícitamente

Ahora diferenciamos ambos lados con respecto a \(x\). Usando la regla de la cadena:

\[
\frac{1}{\gamma} \cdot \frac{d\gamma}{dx} = 2 \ln(x^2 - 1) \cdot \frac{d}{dx}\left[\ln(x^2 - 1)\right]
\]

La derivada de \(\ln(x^2 - 1)\) con respecto a \(x\) es:

\[
\frac{d}{dx} \left[\ln(x^2 - 1)\right] = \frac{1}{x^2 - 1} \cdot \frac{d}{dx}(x^2 - 1) = \frac{2x}{x^2 - 1}
\]

Entonces:

\[
\frac{1}{\gamma} \cdot \frac{d\gamma}{dx} = 2 \ln(x^2 - 1) \cdot \frac{2x}{x^2 - 1}
\]

### Paso 3: Resolver para \(\frac{d\gamma}{dx}\)

Finalmente, multiplicamos ambos lados por \(\gamma\) para obtener la derivada:

\[
\frac{d\gamma}{dx} = \gamma \cdot \frac{4x \ln(x^2 - 1)}{x^2 - 1}
\]

Sustituyendo \(\gamma = \left(x^2 - 1\right)^{\ln(x^2 - 1)}\):

\[
\frac{d\gamma}{dx} = \left(x^2 - 1\right)^{\ln(x^2 - 1)} \cdot \frac{4x \ln(x^2 - 1)}{x^2 - 1}
\]

Por lo tanto, la derivada de la función es:

\[
\frac{d\gamma}{dx} = \frac{4x \ln(x^2 - 1) \cdot \left(x^2 - 1\right)^{\ln(x^2 - 1)}}{x^2 - 1}
\]

### ¿Te gustaría alguna aclaración adicional sobre este procedimiento?

Aquí tienes cinco preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se puede simplificar la derivada obtenida?
2. ¿Cuál es la interpretación geométrica de la derivada en términos de la pendiente de la curva?
3. ¿Cómo se comporta la derivada cuando \(x\) se acerca a 1 o -1?
4. ¿Es posible encontrar los puntos críticos de la función a partir de la derivada?
5. ¿Cómo se analizaría la concavidad de la función usando la segunda derivada?

**Consejo:** La diferenciación logarítmica es una herramienta poderosa para funciones donde las variables se encuentran tanto en la base como en el exponente. ¡Vale la pena dominarla!

Learn how to find the derivative of the function (x^2 - 1)^(ln(x^2 - 1)) with respect to x using logarithmic differentiation. This detailed solution covers the application of the chain rule and logarithm properties, suitable for advanced undergraduate level mathematics.

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