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resuelve los siguientes ejercicios segun el enunciado con todo el procedimiento en español 

Voy a resolver los ejercicios uno por uno, proporcionando el procedimiento detallado. Aquí está el desglose de los problemas:

### Ejercicio 1:
**Hallar \(-2A + 3B - 5C\)**

Las matrices son:
\[
A = \begin{pmatrix} 6 & 5 \\ 2 & -4 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ -2 & -4 \end{pmatrix}, \quad C = \begin{pmatrix} 3 & -5 \\ 4 & 7 \end{pmatrix}
\]

Primero, multiplicamos las matrices por sus coeficientes.

1. \(-2A\):
\[
-2 \times A = -2 \times \begin{pmatrix} 6 & 5 \\ 2 & -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -12 & -10 \\ -4 & 8 \end{pmatrix}
\]

2. \(3B\):
\[
3 \times B = 3 \times \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ -2 & -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12 & 3 \\ -6 & -12 \end{pmatrix}
\]

3. \(-5C\):
\[
-5 \times C = -5 \times \begin{pmatrix} 3 & -5 \\ 4 & 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -15 & 25 \\ -20 & -35 \end{pmatrix}
\]

Ahora sumamos los resultados:
\[
-2A + 3B - 5C = \begin{pmatrix} -12 & -10 \\ -4 & 8 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 12 & 3 \\ -6 & -12 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -15 & 25 \\ -20 & -35 \end{pmatrix}
\]

Sumamos componente a componente:
\[
\begin{pmatrix} -12 + 12 - 15 & -10 + 3 + 25 \\ -4 + (-6) + (-20) & 8 + (-12) + (-35) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -15 & 18 \\ -30 & -39 \end{pmatrix}
\]

**Resultado:**
\[
-2A + 3B - 5C = \begin{pmatrix} -15 & 18 \\ -30 & -39 \end{pmatrix}
\]

---

### Ejercicio 2:
**Realizar el siguiente producto de matrices: \(A \times B\)**

Las matrices son:
\[
A = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 2 & -4 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} -5 & 4 \\ -2 & -4 \end{pmatrix}
\]

Multiplicamos usando la regla de multiplicación de matrices:
\[
A \times B = \begin{pmatrix} 4 \times (-5) + 1 \times (-2) & 4 \times 4 + 1 \times (-4) \\ 2 \times (-5) + (-4) \times (-2) & 2 \times 4 + (-4) \times (-4) \end{pmatrix}
\]

Realizamos las operaciones:
\[
A \times B = \begin{pmatrix} -20 + (-2) & 16 + (-4) \\ -10 + 8 & 8 + 16 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -22 & 12 \\ -2 & 24 \end{pmatrix}
\]

**Resultado:**
\[
A \times B = \begin{pmatrix} -22 & 12 \\ -2 & 24 \end{pmatrix}
\]

---

### Ejercicio 3:
**Encontrar la inversa de las siguientes matrices cuadradas.**

Para \( A = \begin{pmatrix} 2 & -5 \\ -2 & -1 \end{pmatrix} \), la inversa de una matriz \( 2 \times 2 \) se calcula usando la fórmula:
\[
A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \times \text{adj}(A)
\]
donde:
\[
\det(A) = (2)(-1) - (-5)(-2) = -2 - 10 = -12
\]

La adjunta (matriz de cofactores) es:
\[
\text{adj}(A) = \begin{pmatrix} -1 & 5 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}
\]

Entonces, la inversa es:
\[
A^{-1} = \frac{1}{-12} \times \begin{pmatrix} -1 & 5 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{12} & -\frac{5}{12} \\ -\frac{1}{6} & -\frac{1}{6} \end{pmatrix}
\]

**Resultado:**
\[
A^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{1}{12} & -\frac{5}{12} \\ -\frac{1}{6} & -\frac{1}{6} \end{pmatrix}
\]

---

### Ejercicio 4:
**Resolver el sistema de ecuaciones utilizando la regla de Cramer.**

Las ecuaciones son:
\[
\begin{aligned}
5x_1 - x_2 - 4x_3 &= 30 \\
x_1 + 3x_2 + x_3 &= -5 \\
-2x_1 + 2x_2 + 6x_3 &= -30
\end{aligned}
\]

Para resolver con la regla de Cramer, se necesita la matriz de coeficientes, el determinante de dicha matriz, y los determinantes correspondientes a cada incógnita.

Voy a proceder a calcular los determinantes y resolverlo. Permíteme resolverlo utilizando Python.### Ejercicio 4:
**Resolver el sistema de ecuaciones utilizando la regla de Cramer.**

El sistema de ecuaciones era:
\[
\begin{aligned}
5x_1 - x_2 - 4x_3 &= 30 \\
x_1 + 3x_2 + x_3 &= -5 \\
-2x_1 + 2x_2 + 6x_3 &= -30
\end{aligned}
\]

El determinante de la matriz de coeficientes es \( \det(A) = 56 \).

Calculando los determinantes para cada incógnita:
- \( x_1 = \frac{\det(A_{x_1})}{\det(A)} = \frac{160}{56} \approx 2.86 \)
- \( x_2 = \frac{\det(A_{x_2})}{\det(A)} = \frac{-80}{56} \approx -1.43 \)
- \( x_3 = \frac{\det(A_{x_3})}{\det(A)} = \frac{-200}{56} \approx -3.57 \)

**Resultado:**
\[
x_1 = 2.86, \quad x_2 = -1.43, \quad x_3 = -3.57
\]

---

¿Te gustaría alguna aclaración o más detalles sobre algún paso?

### Preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se aplica la regla de Cramer para sistemas de mayor tamaño?
2. ¿Qué propiedades debe tener una matriz para que sea invertible?
3. ¿Cuál es la interpretación geométrica de la multiplicación de matrices?
4. ¿Cómo se puede verificar si una solución es correcta al resolver sistemas de ecuaciones?
5. ¿Qué métodos alternativos se pueden usar para resolver sistemas de ecuaciones además de Cramer?

### Tip:
Para que una matriz tenga inversa, su determinante debe ser diferente de cero.

Resuelve los siguientes ejercicios según el enunciado con todo el procedimiento en español.

Detailed solutions for matrix operations, including multiplication, finding inverses, and solving linear equations using Cramer's rule. Ideal for advanced high school or college-level students.

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