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resuelve los siguientes ejercicios segun el enunciado con todo el procedimiento en español 

Vamos a resolver cada uno de los ejercicios detalladamente.

### 1. Realizar los cálculos de la expresión \(-2A + 3B - 5C\).

Las matrices involucradas son:
\[
A = \begin{pmatrix} 3 & -5 \\ -4 & \frac{7}{3} \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 8 & 2 \\ -4 & 5 \end{pmatrix}, \quad C = \begin{pmatrix} 6 & 4 \\ 5 & -1 \end{pmatrix}
\]
La expresión es \(-2A + 3B - 5C\). Vamos paso por paso.

#### a) \(-2A\):
Multiplicamos la matriz \(A\) por \(-2\):
\[
-2A = -2 \begin{pmatrix} 3 & -5 \\ -4 & \frac{7}{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6 & 10 \\ 8 & -\frac{14}{3} \end{pmatrix}
\]

#### b) \(3B\):
Multiplicamos la matriz \(B\) por 3:
\[
3B = 3 \begin{pmatrix} 8 & 2 \\ -4 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 24 & 6 \\ -12 & 15 \end{pmatrix}
\]

#### c) \(-5C\):
Multiplicamos la matriz \(C\) por \(-5\):
\[
-5C = -5 \begin{pmatrix} 6 & 4 \\ 5 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -30 & -20 \\ -25 & 5 \end{pmatrix}
\]

#### d) Sumar \(-2A + 3B - 5C\):
Ahora sumamos las tres matrices obtenidas:
\[
\begin{pmatrix} -6 & 10 \\ 8 & -\frac{14}{3} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 24 & 6 \\ -12 & 15 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -30 & -20 \\ -25 & 5 \end{pmatrix}
\]

Suma de los elementos correspondientes:
- Primera fila, primer elemento: \(-6 + 24 - 30 = -12\)
- Primera fila, segundo elemento: \(10 + 6 - 20 = -4\)
- Segunda fila, primer elemento: \(8 - 12 - 25 = -29\)
- Segunda fila, segundo elemento: \(-\frac{14}{3} + 15 + 5 = \frac{31}{3}\)

Por lo tanto, el resultado es:
\[
\boxed{\begin{pmatrix} -12 & -4 \\ -29 & \frac{31}{3} \end{pmatrix}}
\]

### 2. Realizar el producto de matrices \(A \times B\)

Las matrices involucradas son:
\[
A = \begin{pmatrix} 4 & -5 \\ 3 & -1 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 7 & -4 & 5 \\ -2 & -3 & -7 \end{pmatrix}
\]

El producto de matrices \(A \times B\) se calcula multiplicando cada fila de \(A\) por cada columna de \(B\).

\[
A \times B = \begin{pmatrix} 4 & -5 \\ 3 & -1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 7 & -4 & 5 \\ -2 & -3 & -7 \end{pmatrix}
\]

#### a) Primera fila de \(A\) por cada columna de \(B\):
\[
\text{Primera fila, primera columna: } (4)(7) + (-5)(-2) = 28 + 10 = 38
\]
\[
\text{Primera fila, segunda columna: } (4)(-4) + (-5)(-3) = -16 + 15 = -1
\]
\[
\text{Primera fila, tercera columna: } (4)(5) + (-5)(-7) = 20 + 35 = 55
\]

#### b) Segunda fila de \(A\) por cada columna de \(B\):
\[
\text{Segunda fila, primera columna: } (3)(7) + (-1)(-2) = 21 + 2 = 23
\]
\[
\text{Segunda fila, segunda columna: } (3)(-4) + (-1)(-3) = -12 + 3 = -9
\]
\[
\text{Segunda fila, tercera columna: } (3)(5) + (-1)(-7) = 15 + 7 = 22
\]

Por lo tanto, el producto \(A \times B\) es:
\[
\boxed{\begin{pmatrix} 38 & -1 & 55 \\ 23 & -9 & 22 \end{pmatrix}}
\]

### 3. Encontrar la inversa de la matriz \(A = \begin{pmatrix} 2 & -5 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}\)

La inversa de una matriz \(2 \times 2\), si existe, se calcula usando la fórmula:
\[
A^{-1} = \frac{1}{\text{det}(A)} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}
\]
donde \(A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\) y \(\text{det}(A) = ad - bc\).

Para \(A = \begin{pmatrix} 2 & -5 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}\):
\[
\text{det}(A) = (2)(-1) - (2)(-5) = -2 + 10 = 8
\]

La inversa es:
\[
A^{-1} = \frac{1}{8} \begin{pmatrix} -1 & 5 \\ -2 & 2 \end{pmatrix}
\]

Multiplicando por \(\frac{1}{8}\):
\[
A^{-1} = \begin{pmatrix} -\frac{1}{8} & \frac{5}{8} \\ -\frac{2}{8} & \frac{2}{8} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{1}{8} & \frac{5}{8} \\ -\frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{pmatrix}
\]

Por lo tanto, la inversa es:
\[
\boxed{\begin{pmatrix} -\frac{1}{8} & \frac{5}{8} \\ -\frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{pmatrix}}
\]

### 4. Resolver las siguientes ecuaciones utilizando la regla de Cramer

Las ecuaciones son:
\[
\begin{aligned}
5x_1 - x_2 - 4x_3 &= 30 \\
-2x_1 + 3x_2 + x_3 &= 5 \\
-4x_1 + 2x_2 + 6x_3 &= -30
\end{aligned}
\]

Para resolver por la regla de Cramer, necesitamos las siguientes determinantes:

#### Matriz de coeficientes:
\[
A = \begin{pmatrix} 5 & -1 & -4 \\ -2 & 3 & 1 \\ -4 & 2 & 6 \end{pmatrix}
\]
#### Determinante de \(A\) (det(A)):
Voy a calcular los determinantes en un paso siguiente por claridad.

Voy a resolver esto ahora.El determinante de la matriz \(A\) es \( \text{det}(A) = 40\).

Ahora calcularemos los determinantes de las matrices \(A_1\), \(A_2\), y \(A_3\), que se obtienen al reemplazar las columnas de \(A\) con el vector de términos independientes:

\[
\vec{b} = \begin{pmatrix} 30 \\ 5 \\ -30 \end{pmatrix}
\]

Voy a proceder con estos cálculos.Los determinantes de las matrices modificadas son:

- \(\text{det}(A_1) = 140\)
- \(\text{det}(A_2) = 220\)
- \(\text{det}(A_3) = -180\)

Utilizando la regla de Cramer, las soluciones para \(x_1\), \(x_2\) y \(x_3\) son:

\[
x_1 = \frac{\text{det}(A_1)}{\text{det}(A)} = \frac{140}{40} = 3.5
\]
\[
x_2 = \frac{\text{det}(A_2)}{\text{det}(A)} = \frac{220}{40} = 5.5
\]
\[
x_3 = \frac{\text{det}(A_3)}{\text{det}(A)} = \frac{-180}{40} = -4.5
\]

Por lo tanto, la solución del sistema es:
\[
\boxed{x_1 = 3.5, \quad x_2 = 5.5, \quad x_3 = -4.5}
\]

---

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta sobre alguno de los ejercicios?

### Preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se verifica si una matriz tiene inversa?
2. ¿Cuándo no se puede aplicar la regla de Cramer?
3. ¿Cuál es la interpretación geométrica de la regla de Cramer?
4. ¿Cómo se calculan determinantes para matrices mayores a 3x3?
5. ¿Qué métodos alternativos existen para resolver sistemas de ecuaciones?

### Tip:
Para el cálculo rápido de matrices y determinantes, aprender las propiedades de las matrices triangulares puede simplificar mucho los cálculos.

Resuelve los siguientes ejercicios según el enunciado con todo el procedimiento en español.

Learn how to solve matrix operations, find the inverse of a matrix, and solve systems of equations using Cramer's rule. This detailed step-by-step guide covers matrix addition, scalar multiplication, and inversion, as well as applying Cramer's rule to linear systems.

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