Pour déterminer les matrices triangulaires inférieure \(L\) et supérieure \(U\) telles que \(A = LU\) en utilisant l'algorithme de Gauss, nous allons effectuer la décomposition LU de la matrice \(A\). La décomposition LU consiste à factoriser une matrice \(A\) en un produit de deux matrices : une matrice triangulaire inférieure \(L\) et une matrice triangulaire supérieure \(U\). ### Étape 1 : Écrire la matrice \(A\) Soit la matrice \(A\) : \[ A = \begin{pmatrix} -2 & -3 & 1 & -1 \\ 2 & 2 & -3 & 2 \\ -4 & -9 & -2 & 3 \\ 2 & 5 & 5 & -4 \end{pmatrix} \] ### Étape 2 : Initialiser les matrices \(L\) et \(U\) On commence avec \(U\) égale à \(A\) et \(L\) comme une matrice identité de même taille : \[ L = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad U = \begin{pmatrix} -2 & -3 & 1 & -1 \\ 2 & 2 & -3 & 2 \\ -4 & -9 & -2 & 3 \\ 2 & 5 & 5 & -4 \end{pmatrix} \] ### Étape 3 : Appliquer l'élimination de Gauss 1. **Première colonne :** - Pour rendre \(U_{21}\) égal à 0, effectuer \(L_{21} = \frac{U_{21}}{U_{11}} = \frac{2}{-2} = -1\) et mettre à jour la 2ème ligne de \(U\) : \[ U_2 \leftarrow U_2 + 1 \times U_1 = (2, 2, -3, 2) + (2, 3, -1, 1) = (0, -1, -4, 1) \] - Pour rendre \(U_{31}\) égal à 0, effectuer \(L_{31} = \frac{U_{31}}{U_{11}} = \frac{-4}{-2} = 2\) et mettre à jour la 3ème ligne de \(U\). - Pour rendre \(U_{41}\) égal à 0, effectuer \(L_{41} = \frac{U_{41}}{U_{11}} = \frac{2}{-2} = -1\) et mettre à jour la 4ème ligne de \(U\).