Aplique reducci´on Gauss para llevar la matriz encontrada a una matriz escalonada.

Vamos a aplicar el método de eliminación de Gauss para llevar la matriz dada a su forma escalonada. La matriz que tenemos es:

\[
\begin{pmatrix}
1 & -1 & -1 & 2 & | & 0 \\
1 & 3 & 1 & 2 & | & 0 \\
-2 & -6 & -2 & -4 & | & 0
\end{pmatrix}
\]

### Paso 1: Eliminar el elemento en la primera columna de la segunda y tercera filas

**Primera Fila (F1):**

\[
\begin{pmatrix}
1 & -1 & -1 & 2 & | & 0
\end{pmatrix}
\]

Restamos la primera fila de la segunda fila para eliminar el elemento en la primera columna de la segunda fila:

\[
\text{F2} \rightarrow \text{F2} - \text{F1}
\]

Esto da como resultado la nueva segunda fila:

\[
\begin{pmatrix}
1 & 3 & 1 & 2 & | & 0 \\
\end{pmatrix}
-
\begin{pmatrix}
1 & -1 & -1 & 2 & | & 0 \\
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0 & 4 & 2 & 0 & | & 0 \\
\end{pmatrix}
\]

Ahora, sumamos dos veces la primera fila a la tercera fila para eliminar el elemento en la primera columna de la tercera fila:

\[
\text{F3} \rightarrow \text{F3} + 2 \cdot \text{F1}
\]

Esto da como resultado la nueva tercera fila:

\[
\begin{pmatrix}
-2 & -6 & -2 & -4 & | & 0 \\
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
2 & -2 & -2 & 4 & | & 0 \\
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0 & -8 & -4 & 0 & | & 0 \\
\end{pmatrix}
\]

Ahora, la matriz se ve así:

\[
\begin{pmatrix}
1 & -1 & -1 & 2 & | & 0 \\
0 & 4 & 2 & 0 & | & 0 \\
0 & -8 & -4 & 0 & | & 0
\end{pmatrix}
\]

### Paso 2: Eliminar el elemento en la segunda columna de la tercera fila

Dividimos la segunda fila por 4 para normalizarla (aunque esto no es estrictamente necesario para obtener la forma escalonada, es un paso común en la reducción de Gauss):

\[
\text{F2} \rightarrow \frac{1}{4} \text{F2} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & \frac{1}{2} & 0 & | & 0 \end{pmatrix}
\]

Restamos 2 veces la nueva segunda fila a la tercera fila para eliminar el elemento en la segunda columna de la tercera fila:

\[
\text{F3} \rightarrow \text{F3} + 2 \cdot \text{F2}
\]

Esto da como resultado la nueva tercera fila:

\[
\begin{pmatrix}
0 & -8 & -4 & 0 & | & 0 \\
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
0 & 2 & 1 & 0 & | & 0 \\
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & 0 & | & 0
\end{pmatrix}
\]

### Resultado Final

La matriz escalonada resultante es:

\[
\begin{pmatrix}
1 & -1 & -1 & 2 & | & 0 \\
0 & 4 & 2 & 0 & | & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & | & 0
\end{pmatrix}
\]

Esta matriz es la forma escalonada del sistema original.

¿Tienes alguna pregunta o necesitas más detalles sobre el proceso?

---

**Preguntas relacionadas:**

1. ¿Cómo continuarías para resolver el sistema una vez que se ha llevado a la forma escalonada?
2. ¿Qué pasos adicionales se requerirían para convertir la matriz escalonada en la forma escalonada reducida?
3. ¿Qué significa que la tercera fila sea completamente cero en términos del sistema de ecuaciones?
4. ¿Cómo influye el uso de pivotes en la estabilidad numérica de la eliminación de Gauss?
5. ¿Cómo podrías usar matrices elementales para representar los pasos en la eliminación de Gauss?

**Tip:** Recuerda que la forma escalonada puede ayudar a identificar rápidamente soluciones únicas, infinitas o la falta de solución.

Learn how to apply Gaussian elimination to transform a given matrix into row echelon form. This detailed step-by-step solution covers matrix operations and is suitable for advanced high school students and beyond.

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