El costo económico (CT) de un factor de producción es el pago necesario para mantenerlo en su uso actual. Asimismo, el costo económico de un factor es la remuneración que ese factor recibiría en su mejor empleo alternativo. En economía se utilizan mucho dos medidas distintas del costo unitario, a saber: 1) el costo promedio (CMe), que es el costo por unidad de producto, y 2) el costo marginal (CMg), que es el costo de producir una unidad más. Para una empresa representativa del sector textil la función de costos es la siguiente:

C T igual n elevado a x menos raíz cuadrada de x fin elevado

Donde n es una constante que vale 6, x es la variable que representa la cantidad. Determine la función de costo marginal para una cantidad x= 7:

La función de costos que nos proporcionas es:

\[
CT = n^x - \sqrt{x}
\]

donde \( n = 6 \) y \( x \) es la cantidad producida. Para determinar la función de costo marginal (CMg), debemos calcular la derivada de la función de costo total \( CT \) con respecto a \( x \).

### Paso 1: Determinemos la función de costo marginal (CMg)

La función de costo marginal es la derivada de la función de costos con respecto a \( x \):

\[
CMg = \frac{d(CT)}{dx}
\]

Sustituyendo la función de costos:

\[
CMg = \frac{d}{dx} \left( 6^x - \sqrt{x} \right)
\]

### Paso 2: Calculamos la derivada

1. **Derivada de \( 6^x \):**

La derivada de una función exponencial \( a^x \) es:

\[
\frac{d}{dx} (a^x) = a^x \ln(a)
\]

Por lo tanto:

\[
\frac{d}{dx} (6^x) = 6^x \ln(6)
\]

2. **Derivada de \( \sqrt{x} = x^{1/2} \):**

La derivada de \( x^{1/2} \) es:

\[
\frac{d}{dx} (x^{1/2}) = \frac{1}{2} x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}
\]

3. **Juntamos ambas derivadas:**

\[
CMg = 6^x \ln(6) - \frac{1}{2\sqrt{x}}
\]

### Paso 3: Evaluamos la función de costo marginal en \( x = 7 \)

Ahora, sustituimos \( x = 7 \):

\[
CMg(7) = 6^7 \ln(6) - \frac{1}{2\sqrt{7}}
\]

Calculemos el valor numérico:

\[
CMg(7) \approx 6^7 \ln(6) - \frac{1}{2\sqrt{7}}
\]

Ahora, realizaremos estos cálculos.El costo marginal (CMg) para una cantidad de \( x = 7 \) es aproximadamente:

\[
CMg(7) \approx 501577.79
\]

### ¿Deseas más detalles sobre el cálculo o tienes alguna otra pregunta?

### Preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se interpretan los costos marginales en términos económicos?
2. ¿Qué implica un costo marginal alto para una empresa en el sector textil?
3. ¿Cómo afecta la constante \( n \) al costo marginal en diferentes niveles de producción?
4. ¿Cómo encontrar el costo promedio a partir de la función de costo total?
5. ¿Qué sucede con el costo marginal cuando \( x \) tiende a valores muy grandes o muy pequeños?

### Tip:
Recuerda que el costo marginal es fundamental para la toma de decisiones sobre cuánto producir, ya que indica el costo adicional de producir una unidad más.

Learn how to calculate marginal cost (CMg) for a textile production company using economic cost theory. Includes step-by-step derivation and numerical calculation for x = 7. Ideal for understanding economic cost concepts in business and economics.

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