x − y − z + 2w = 0
x + 3y + z + 2w = 0
−2x − 6y − 2z − 4w = 0 Aplique reducci´on Gauss para llevar la matriz encontrada a una matriz escalonada.

Primero, representamos el sistema de ecuaciones en su forma matricial aumentada. Las ecuaciones dadas son:

\[
\begin{aligned}
1. & \quad x - y - z + 2w = 0 \\
2. & \quad x + 3y + z + 2w = 0 \\
3. & \quad -2x - 6y - 2z - 4w = 0
\end{aligned}
\]

La matriz aumentada asociada a este sistema es:

\[
\begin{pmatrix}
1 & -1 & -1 & 2 & | & 0 \\
1 & 3 & 1 & 2 & | & 0 \\
-2 & -6 & -2 & -4 & | & 0
\end{pmatrix}
\]

Aplicamos el método de eliminación de Gauss para llevar esta matriz a su forma escalonada.

### Paso 1: Eliminar el elemento en la primera columna de la segunda y tercera filas.

Restamos la primera fila de la segunda fila para eliminar el elemento en la primera columna de la segunda fila:

\[
\text{F2} \rightarrow \text{F2} - \text{F1} 
\]

\[
\begin{pmatrix}
1 & -1 & -1 & 2 & | & 0 \\
0 & 4 & 2 & 0 & | & 0 \\
-2 & -6 & -2 & -4 & | & 0
\end{pmatrix}
\]

Sumamos dos veces la primera fila a la tercera fila para eliminar el elemento en la primera columna de la tercera fila:

\[
\text{F3} \rightarrow \text{F3} + 2 \cdot \text{F1}
\]

\[
\begin{pmatrix}
1 & -1 & -1 & 2 & | & 0 \\
0 & 4 & 2 & 0 & | & 0 \\
0 & -8 & -4 & 0 & | & 0
\end{pmatrix}
\]

### Paso 2: Eliminar el elemento en la segunda columna de la tercera fila.

Restamos dos veces la segunda fila de la tercera fila para eliminar el elemento en la segunda columna de la tercera fila:

\[
\text{F3} \rightarrow \text{F3} + 2 \cdot \text{F2}
\]

\[
\begin{pmatrix}
1 & -1 & -1 & 2 & | & 0 \\
0 & 4 & 2 & 0 & | & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & | & 0
\end{pmatrix}
\]

### Resultado

La matriz escalonada resultante es:

\[
\begin{pmatrix}
1 & -1 & -1 & 2 & | & 0 \\
0 & 4 & 2 & 0 & | & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & | & 0
\end{pmatrix}
\]

Esta matriz representa la forma escalonada del sistema dado.

¿Necesitas detalles adicionales o tienes alguna pregunta?

---

**Preguntas relacionadas:**

1. ¿Cómo se obtiene la solución del sistema a partir de la matriz escalonada?
2. ¿Qué sucede si un sistema tiene una fila de ceros en la matriz escalonada?
3. ¿Cómo se interpreta la existencia de variables libres en este contexto?
4. ¿Cómo se aplicaría la eliminación de Gauss-Jordan para llegar a la forma escalonada reducida?
5. ¿Cuál es la diferencia entre una matriz escalonada y una matriz escalonada reducida?

**Tip:** Al trabajar con matrices, verifica tus operaciones fila por fila para evitar errores de cálculo.

Learn how to apply Gaussian elimination to solve a system of linear equations step-by-step. This problem involves matrix operations and is suitable for university-level students studying linear algebra.

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