j ai une matrice qu est la suivante : 

         -2       -3       1     -1       (1 ere ligne)
A = 
          2         2      -3      2       (2 eme ligne )

        -4        -9       -2      3      (3 eme ligne)

         2         5         5     -4     (4 eme ligne)



een utilisant l algorithme de gauss, determine els matrices triangulaires L et triangulaires superieures U telles que : A = LU

Pour déterminer les matrices triangulaires inférieure \(L\) et supérieure \(U\) telles que \(A = LU\) en utilisant l'algorithme de Gauss, nous allons effectuer la décomposition LU de la matrice \(A\). La décomposition LU consiste à factoriser une matrice \(A\) en un produit de deux matrices : une matrice triangulaire inférieure \(L\) et une matrice triangulaire supérieure \(U\).

### Étape 1 : Écrire la matrice \(A\)

Soit la matrice \(A\) :

\[
A =
\begin{pmatrix}
-2 & -3 & 1  & -1 \\
 2  &  2 & -3 &  2 \\
-4 & -9 & -2 &  3 \\
 2  &  5 &  5 & -4
\end{pmatrix}
\]

### Étape 2 : Initialiser les matrices \(L\) et \(U\)

On commence avec \(U\) égale à \(A\) et \(L\) comme une matrice identité de même taille :

\[
L =
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}, \quad
U =
\begin{pmatrix}
-2 & -3 & 1  & -1 \\
 2  &  2 & -3 &  2 \\
-4 & -9 & -2 &  3 \\
 2  &  5 &  5 & -4
\end{pmatrix}
\]

### Étape 3 : Appliquer l'élimination de Gauss

1. **Première colonne :**

   - Pour rendre \(U_{21}\) égal à 0, effectuer \(L_{21} = \frac{U_{21}}{U_{11}} = \frac{2}{-2} = -1\) et mettre à jour la 2ème ligne de \(U\) :
   
   \[
   U_2 \leftarrow U_2 + 1 \times U_1 = (2, 2, -3, 2) + (2, 3, -1, 1) = (0, -1, -4, 1)
   \]
   - Pour rendre \(U_{31}\) égal à 0, effectuer \(L_{31} = \frac{U_{31}}{U_{11}} = \frac{-4}{-2} = 2\) et mettre à jour la 3ème ligne de \(U\).
   - Pour rendre \(U_{41}\) égal à 0, effectuer \(L_{41} = \frac{U_{41}}{U_{11}} = \frac{2}{-2} = -1\) et mettre à jour la 4ème ligne de \(U\).
   


Learn how to decompose matrix A into lower triangular matrix L and upper triangular matrix U using Gaussian elimination method. This problem involves matrix operations and advanced mathematical techniques.

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