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ayudame a resolver y encontrar el resultado la solución de esta ecuación con el método de gauss

Para resolver el sistema de ecuaciones mediante el método de Gauss, se deben seguir los siguientes pasos:

1. **Formar la matriz aumentada** con las ecuaciones dadas.
2. **Aplicar operaciones elementales por filas** para transformar la matriz aumentada en una forma escalonada.
3. **Resolver el sistema triangular** resultante para encontrar los valores de \( x_1, x_2, x_3 \) y \( x_4 \).

Dado el sistema de ecuaciones:
\[
\begin{align*}
x_1 + 2x_2 - 4x_3 - x_4 &= 7 \\
2x_1 + 5x_2 - 9x_3 - 4x_4 &= 16 \\
x_1 + 5x_2 - 7x_3 - 7x_4 &= 13 \\
\end{align*}
\]

Formamos la matriz aumentada:
\[
\left[\begin{array}{cccc|c}
1 & 2 & -4 & -1 & 7 \\
2 & 5 & -9 & -4 & 16 \\
1 & 5 & -7 & -7 & 13 \\
\end{array}\right]
\]

### Paso 1: Transformar a forma escalonada

1. **Fila 2**: Restar 2 veces la fila 1 de la fila 2.
\[
\left[\begin{array}{cccc|c}
1 & 2 & -4 & -1 & 7 \\
0 & 1 & -1 & -2 & 2 \\
1 & 5 & -7 & -7 & 13 \\
\end{array}\right]
\]

2. **Fila 3**: Restar la fila 1 de la fila 3.
\[
\left[\begin{array}{cccc|c}
1 & 2 & -4 & -1 & 7 \\
0 & 1 & -1 & -2 & 2 \\
0 & 3 & -3 & -6 & 6 \\
\end{array}\right]
\]

3. **Fila 3**: Restar 3 veces la fila 2 de la fila 3.
\[
\left[\begin{array}{cccc|c}
1 & 2 & -4 & -1 & 7 \\
0 & 1 & -1 & -2 & 2 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{array}\right]
\]

### Paso 2: Resolver el sistema triangular

La matriz resultante nos muestra que la tercera ecuación es redundante (0 = 0), lo cual indica que el sistema tiene infinitas soluciones. Debemos parametrizar una variable y resolver en términos de las otras.

Tomemos \( x_3 = t \) como una variable libre.

De la segunda fila:
\[
x_2 - x_3 - 2x_4 = 2 \\
x_2 - t - 2x_4 = 2 \\
x_2 = t + 2x_4 + 2
\]

De la primera fila:
\[
x_1 + 2x_2 - 4x_3 - x_4 = 7 \\
x_1 + 2(t + 2x_4 + 2) - 4t - x_4 = 7 \\
x_1 + 2t + 4x_4 + 4 - 4t - x_4 = 7 \\
x_1 - 2t + 3x_4 + 4 = 7 \\
x_1 = 2t - 3x_4 + 3
\]

Por lo tanto, la solución del sistema es:
\[
\begin{cases}
x_1 = 2t - 3x_4 + 3 \\
x_2 = t + 2x_4 + 2 \\
x_3 = t \\
x_4 = x_4 \\
\end{cases}
\]
Donde \( t \) es un parámetro libre y \( x_4 \) es una variable libre.

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta sobre el método de Gauss?

### Preguntas Relacionadas:
1. ¿Cómo se interpretan las soluciones infinitas en un sistema de ecuaciones lineales?
2. ¿Qué son las operaciones elementales por filas en el método de Gauss?
3. ¿Cómo se identifica una fila redundante en una matriz aumentada?
4. ¿Qué representa una variable libre en la solución de un sistema de ecuaciones?
5. ¿Cuál es la diferencia entre un sistema consistente e inconsistente?
6. ¿Cómo se utiliza el método de Gauss-Jordan en comparación con el método de Gauss?
7. ¿Qué otros métodos se pueden usar para resolver sistemas de ecuaciones lineales?
8. ¿Cómo se verifica la solución de un sistema de ecuaciones lineales?

### Tip:
En el método de Gauss, asegúrate de realizar operaciones elementales correctamente para evitar errores en la transformación de la matriz.

Learn how to solve a system of linear equations using the Gauss elimination method with this detailed step-by-step guide. Explore matrix operations and transformation to triangular form. Suitable for advanced mathematics students.

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