(2p) Beskriv geometriskt alla lösningar till olikheten |x − 1| ≤ 3 då
a) x ∈ R; b) x ∈ C

Vi ska beskriva geometriskt alla lösningar till olikheten \(|x - 1| \leq 3\) för två olika fall: när \(x\) är ett reellt tal (\(x \in \mathbb{R}\)) och när \(x\) är ett komplext tal (\(x \in \mathbb{C}\)).

### a) \(x \in \mathbb{R}\)
För reella tal beskriver olikheten \(|x - 1| \leq 3\) avståndet mellan \(x\) och \(1\) på den reella tallinjen. Detta betyder att \(x\) ligger inom ett avstånd av 3 från talet 1. Vi kan lösa olikheten enligt följande:

\[
|x - 1| \leq 3 \quad \text{kan skrivas som} \quad -3 \leq x - 1 \leq 3
\]
Lägg till 1 på alla sidor:
\[
-3 + 1 \leq x \leq 3 + 1 \quad \Rightarrow \quad -2 \leq x \leq 4
\]

Geometriskt innebär detta att lösningarna är alla \(x\)-värden på den reella tallinjen mellan \(-2\) och \(4\), inklusive dessa gränser. Det motsvarar ett slutet intervall \([-2, 4]\).

### b) \(x \in \mathbb{C}\)
När \(x\) är ett komplext tal (\(x \in \mathbb{C}\)) tolkar vi \(|x - 1| \leq 3\) som avståndet mellan det komplexa talet \(x\) och punkten \(1\) i det komplexa talplanet. Detta beskriver alla punkter i det komplexa planet vars avstånd från \(1\) är mindre än eller lika med 3.

Geometriskt motsvarar detta en cirkelskiva (en skiva som inkluderar kanten) med centrum i \(z = 1\) och radie 3. Alla punkter inom eller på randen av denna cirkel är lösningar. Centret är punkten \(1 + 0i\) (på den reella axeln), och cirkeln har radien 3.

### Sammanfattning:
- För \(x \in \mathbb{R}\): Lösningarna är alla punkter i intervallet \([-2, 4]\) på den reella tallinjen.
- För \(x \in \mathbb{C}\): Lösningarna är alla punkter inom eller på randen av en cirkelskiva med centrum i \(z = 1\) och radie 3 i det komplexa planet.

Vill du ha fler detaljer eller har du några frågor om detta?

Här är fem relaterade frågor att överväga:
1. Hur skulle lösningen se ut om olikheten var strikt, dvs. \(|x - 1| < 3\)?
2. Vad händer om vi ändrar olikheten till \(|x - 1| \geq 3\)?
3. Hur påverkas lösningen i det komplexa planet om vi förflyttar centrum från \(1\) till ett annat komplext tal?
4. Hur skulle vi geometriskt beskriva lösningen till \(|x - a| \leq b\) generellt för \(x \in \mathbb{R}\)?
5. Hur skulle vi lösa en liknande olikhet, t.ex. \(|x - 1| \leq 2\), i polära koordinater?

**Tips**: I det komplexa planet tolkas \(|z - a|\) alltid som avståndet från \(z\) till \(a\), vilket gör cirklar och cirkelskivor till vanliga geometriska objekt i lösningar av olikheter.

Beskriv geometriskt alla lösningar till olikheten |x − 1| ≤ 3 då a) x ∈ R; b) x ∈ C

Explore the geometric solution to the inequality |x - 1| ≤ 3 for both real numbers and complex numbers. For real numbers, the solution forms an interval, while for complex numbers, it forms a disk in the complex plane. Suitable for high school students, covering key concepts in inequalities, absolute value, and geometry.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation