Obtener el conjunto de los valores de x€ R que satisfacen |3x-5| > |2x-1|

Para resolver la desigualdad \( |3x - 5| > |2x - 1| \), debemos analizar los valores absolutos separando el problema en diferentes casos, basados en las raíces de las expresiones dentro de los valores absolutos.

### Paso 1: Determinación de las raíces
Primero, resolvemos las ecuaciones de los valores absolutos para obtener las raíces:

1. \( 3x - 5 = 0 \) \(\Rightarrow\) \( x = \frac{5}{3} \)
2. \( 2x - 1 = 0 \) \(\Rightarrow\) \( x = \frac{1}{2} \)

Estas raíces nos dividen la recta real en tres intervalos clave: \( (-\infty, \frac{1}{2}) \), \( (\frac{1}{2}, \frac{5}{3}) \), y \( (\frac{5}{3}, \infty) \). Ahora resolveremos la desigualdad en cada intervalo.

### Paso 2: Análisis por intervalos

#### Intervalo 1: \( x < \frac{1}{2} \)
En este intervalo, tanto \( 3x - 5 \) como \( 2x - 1 \) son negativos, por lo que:
\[
|3x - 5| = -(3x - 5) = 5 - 3x
\]
\[
|2x - 1| = -(2x - 1) = 1 - 2x
\]
Entonces, la desigualdad se convierte en:
\[
5 - 3x > 1 - 2x
\]
Restamos \( 1 \) de ambos lados:
\[
4 - 3x > -2x
\]
Sumamos \( 3x \) a ambos lados:
\[
4 > x
\]
Por lo tanto, para \( x < \frac{1}{2} \), la solución es \( x < 4 \). Como ya estamos en el intervalo \( x < \frac{1}{2} \), este intervalo es parte de la solución.

#### Intervalo 2: \( \frac{1}{2} < x < \frac{5}{3} \)
En este intervalo, \( 3x - 5 \) es negativo y \( 2x - 1 \) es positivo, por lo que:
\[
|3x - 5| = 5 - 3x
\]
\[
|2x - 1| = 2x - 1
\]
La desigualdad se convierte en:
\[
5 - 3x > 2x - 1
\]
Sumamos \( 3x \) a ambos lados:
\[
5 > 5x - 1
\]
Sumamos \( 1 \) a ambos lados:
\[
6 > 5x
\]
Dividimos entre \( 5 \):
\[
x < \frac{6}{5}
\]
Por lo tanto, en este intervalo \( \frac{1}{2} < x < \frac{6}{5} \) es parte de la solución.

#### Intervalo 3: \( x > \frac{5}{3} \)
En este intervalo, ambas expresiones \( 3x - 5 \) y \( 2x - 1 \) son positivas, por lo que:
\[
|3x - 5| = 3x - 5
\]
\[
|2x - 1| = 2x - 1
\]
La desigualdad se convierte en:
\[
3x - 5 > 2x - 1
\]
Restamos \( 2x \) de ambos lados:
\[
x - 5 > -1
\]
Sumamos \( 5 \) a ambos lados:
\[
x > 4
\]
Por lo tanto, en este intervalo \( x > 4 \) es parte de la solución.

### Paso 3: Solución final
La solución completa es la unión de los intervalos donde la desigualdad se cumple:
\[
x \in (-\infty, \frac{1}{2}) \cup \left(\frac{1}{2}, \frac{6}{5}\right) \cup (4, \infty)
\]

¿Te gustaría detalles adicionales o alguna explicación sobre los pasos?

### Preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se resuelve una desigualdad con valores absolutos?
2. ¿Qué significa una desigualdad estricta \( > \) y cómo se diferencia de \( \geq \)?
3. ¿Cuáles son los métodos para representar soluciones de desigualdades en la recta numérica?
4. ¿Cómo se manejan ecuaciones con múltiples valores absolutos?
5. ¿Qué tipo de soluciones resultan cuando las desigualdades no tienen solución?

### Tip:
Siempre es útil verificar la solución probando algunos puntos dentro de los intervalos obtenidos.

Learn how to solve the absolute value inequality |3x-5| > |2x-1| with a comprehensive step-by-step solution. This problem involves interval analysis, piecewise functions, and understanding absolute value properties, suitable for high school students in Grades 10-12.

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