Para resolver la desigualdad \(\left|-x + 6\right| < 3\left|x - 2\right|\), consideramos diferentes casos en función de los signos de las expresiones dentro de los valores absolutos. 

### Paso 1: Identificar los puntos críticos
Los puntos críticos son donde las expresiones dentro de los valores absolutos cambian de signo:

1. \( -x + 6 = 0 \) \(\Rightarrow x = 6 \)
2. \( x - 2 = 0 \) \(\Rightarrow x = 2 \)

Estos puntos dividen la recta numérica en los intervalos \( (-\infty, 2) \), \( (2, 6) \) y \( (6, \infty) \).

### Paso 2: Analizar cada intervalo

**Intervalo 1: \( x < 2 \)**

En este intervalo, ambas expresiones son positivas:
\[
-x + 6 > 0 \quad \text{y} \quad x - 2 < 0
\]

La desigualdad se transforma en:
\[
-(x - 6) < 3(2 - x)
\]
\[
- x + 6 < 6 - 3x
\]
Sumamos \(3x\) a ambos lados:
\[
2x < 0 \Rightarrow x < 0
\]
Intersección con \( x < 2 \):
\[
x < 0
\]

**Intervalo 2: \( 2 < x < 6 \)**

En este intervalo, \( -x + 6 > 0 \) y \( x - 2 > 0 \):
\[
-x + 6 < 3(x - 2)
\]
Distribuyendo y resolviendo:
\[
-x + 6 < 3x - 6
\]
Sumamos \(x\) a ambos lados:
\[
6 < 4x - 6
\]
Sumamos 6 a ambos lados:
\[
12 < 4x \Rightarrow x > 3
\]
Intersección con \(2 < x < 6\):
\[
3 < x < 6
\]

**Intervalo 3: \( x > 6 \)**

En este intervalo, ambas expresiones son negativas:
\[
x - 6 < 0 \quad \text{y} \quad x - 2 > 0
\]
La desigualdad se convierte en:
\[
x - 6 < -3(x - 2)
\]
Distribuyendo y resolviendo:
\[
x - 6 < -3x + 6
\]
Sumamos \(3x\) a ambos lados:
\[
4x < 12 \Rightarrow x < 3
\]
Pero esto no es posible en este intervalo (ya que \(x > 6\)). Por lo tanto, no hay soluciones en este intervalo.

### Paso 3: Unión de los intervalos

Las soluciones obtenidas en cada intervalo son:
- \(x < 0\) del intervalo \( (-\infty, 2) \)
- \(3 < x < 6\) del intervalo \( (2, 6) \)

### Solución final:

La solución de la desigualdad es:
\[
x \in (-\infty, 0) \cup (3, 6)
\]

¿Tienes alguna pregunta adicional o necesitas más detalles?

Aquí tienes 5 preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se resuelve una ecuación con valor absoluto en lugar de una desigualdad?
2. ¿Qué significa gráficamente la solución de una desigualdad con valores absolutos?
3. ¿Qué papel juegan los puntos críticos en la resolución de desigualdades con valor absoluto?
4. ¿Cómo se puede verificar la solución de una desigualdad con valores absolutos?
5. ¿Qué diferencia existe entre resolver desigualdades y ecuaciones con valores absolutos?

**Tip:** Al resolver desigualdades con valores absolutos, es importante considerar cada intervalo por separado para evitar soluciones incorrectas.

This detailed solution explains how to solve the absolute value inequality |-x + 6| < 3|x - 2| using interval analysis and absolute value inequality principles. Suitable for Grades 9-11, the problem involves algebraic concepts and critical points.

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