 Encuentra el valor de 𝑘 para que la siguiente ecuación tenga una única 
solución. Luego, para el valor de 𝑘 hallado, encuentre la solución. Justifique 
adecuadamente. 

2𝑥2 −(𝑘−2)𝑥+[−(−𝑘+4)] = 0 

La ecuación dada es:

\[
2x^2 - (k - 2)x + [-( -k + 4)] = 0
\]

Primero, simplifiquemos la ecuación:

\[
2x^2 - (k - 2)x + (k - 4) = 0
\]

Para que esta ecuación cuadrática tenga una única solución, el discriminante (\( \Delta \)) debe ser igual a cero. El discriminante de una ecuación cuadrática de la forma \(ax^2 + bx + c = 0\) está dado por:

\[
\Delta = b^2 - 4ac
\]

Aquí, \(a = 2\), \(b = -(k - 2)\), y \(c = k - 4\). Sustituyamos estos valores en el discriminante:

\[
\Delta = [-(k - 2)]^2 - 4(2)(k - 4)
\]

Simplifiquemos el discriminante:

\[
\Delta = (k - 2)^2 - 8(k - 4)
\]

Expandiendo los términos:

\[
\Delta = (k^2 - 4k + 4) - 8k + 32
\]

\[
\Delta = k^2 - 4k + 4 - 8k + 32
\]

\[
\Delta = k^2 - 12k + 36
\]

Para que haya una única solución, el discriminante debe ser igual a cero:

\[
k^2 - 12k + 36 = 0
\]

Esta es una ecuación cuadrática que se puede factorizar:

\[
(k - 6)^2 = 0
\]

Por lo tanto, \(k = 6\).

### Paso 2: Encontrar la solución para \(k = 6\)

Sustituyamos \(k = 6\) en la ecuación original:

\[
2x^2 - (6 - 2)x + (6 - 4) = 0
\]

\[
2x^2 - 4x + 2 = 0
\]

Dividamos la ecuación entre 2 para simplificar:

\[
x^2 - 2x + 1 = 0
\]

Esta ecuación se puede factorizar como:

\[
(x - 1)^2 = 0
\]

Por lo tanto, la solución es:

\[
x = 1
\]

### Respuesta final:

El valor de \(k\) para que la ecuación tenga una única solución es \(k = 6\). Para este valor, la solución es \(x = 1\).

---

¿Te gustaría ver más detalles o tienes alguna pregunta adicional?

Aquí tienes 5 preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo afecta el discriminante al número de soluciones de una ecuación cuadrática?
2. ¿Qué ocurre si el discriminante es negativo o positivo?
3. ¿Cómo se puede comprobar si una ecuación cuadrática es factorizable?
4. ¿Qué significa que una ecuación tenga soluciones múltiples?
5. ¿Cómo se puede aplicar el método del discriminante a otras ecuaciones cuadráticas?

**Tip:** Siempre revisa los términos después de simplificar para evitar errores comunes al manejar ecuaciones cuadráticas.

Encuentra el valor de 𝑘 para que la siguiente ecuación tenga una única solución. Luego, para el valor de 𝑘 hallado, encuentre la solución. Justifique adecuadamente.

2𝑥^2 −(𝑘−2)𝑥+[−(−𝑘+4)] = 0

Solve the quadratic equation 2x² − (k−2)x + (k−4) to find the value of k that ensures a unique solution. Learn step-by-step how to use the discriminant and solve for x once k is determined. Suitable for Grades 10-12.

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