Determine k na equação x²-10-k=0 de modo que uma raiz seja o quádruplo da outra.

Para resolver o problema, vamos usar a equação dada \( x^2 - 10 - k = 0 \) e a condição de que uma raiz seja o quádruplo da outra.

### Passo 1: Expressar as raízes
Sejam as raízes \( \alpha \) e \( \beta \). Sabemos que \( \alpha = 4\beta \).

### Passo 2: Usar a soma das raízes
A soma das raízes de uma equação quadrática \( ax^2 + bx + c = 0 \) é dada por \( \alpha + \beta = -\frac{b}{a} \). Para a equação dada, \( a = 1 \) e \( b = 0 \), então:

\[
\alpha + \beta = -\frac{0}{1} = 0
\]

Substituindo \( \alpha = 4\beta \):

\[
4\beta + \beta = 0
\]

\[
5\beta = 0
\]

Isso implica que \( \beta = 0 \), o que não é possível, pois as raízes devem ser diferentes de zero. Portanto, precisamos reconsiderar o método.

### Passo 3: Reconsiderando a condição
Vamos utilizar a relação que liga as raízes ao coeficiente \( k \).

A multiplicação das raízes (produto) é dada por:

\[
\alpha \cdot \beta = \frac{c}{a}
\]

Para a equação dada, \( c = -(10 + k) \) e \( a = 1 \), então:

\[
\alpha \cdot \beta = -(10 + k)
\]

Como \( \alpha = 4\beta \):

\[
4\beta \cdot \beta = -(10 + k)
\]

\[
4\beta^2 = -(10 + k)
\]

### Passo 4: Resolução para \( k \)
Sabemos que \( \beta \) não é zero, então:

\[
4\beta^2 = -(10 + k)
\]

Multiplicando ambos os lados por \(-1\) e isolando \( k \):

\[
k + 10 = -4\beta^2
\]

\[
k = -10 - 4\beta^2
\]

### Passo 5: Substituindo a soma das raízes
Agora usamos a soma das raízes. Da primeira equação:

\[
\alpha + \beta = 0 \Rightarrow 4\beta + \beta = 0 \Rightarrow 5\beta = 0 \Rightarrow \beta = 0
\]

Isso não faz sentido, então revisei e cometi um erro inicial.

Vamos usar diretamente as raízes pela condição do produto:

Seja \( \alpha = 4\beta \):

\[
4\beta \cdot \beta = -(10 + k)
\]

\[
4\beta^2 = -(10 + k)
\]

### Passo 6: Considerando que o termo deve ser positivo
Para a raiz ter valores reais:

\[
k = -10 - 4(2.5)^2 = -50
]

Portanto, \( k = 0 - 40 -10 \) assim \( k = 5 .

Se tiver mais perguntas ou desejar mais detalhes, estou aqui para ajudar!

Learn how to determine the value of k in the quadratic equation x² - 10 - k = 0, where one root is four times the other. This problem involves solving quadratic equations and applying the quadratic formula. Suitable for high school students and learners interested in algebraic problem-solving.

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