已知函数f（x） 3x2+4 +1，求证：
1.函数 f（z） 在实数域上只有一个极值点。
2. 求出该极值点，并讨论f（z）在该极值点附近的单调性。

给定函数 \( f(x) = 3x^2 + 4x + 1 \)，我们来逐步解决问题。

### 1. 证明函数 \( f(x) \) 在实数域上只有一个极值点。

函数 \( f(x) = 3x^2 + 4x + 1 \) 是一个二次函数，其标准形式为 \( ax^2 + bx + c \)。二次函数的图像是抛物线，开口方向由二次项的系数 \( a \) 决定。当 \( a > 0 \) 时，抛物线开口向上，会在顶点处达到最小值。因此，我们先通过求导确定极值点。

#### 求导：
\[ f'(x) = \frac{d}{dx} (3x^2 + 4x + 1) = 6x + 4 \]

令导数为 0，找到极值点：
\[ 6x + 4 = 0 \]
\[ x = -\frac{2}{3} \]

因此，函数 \( f(x) \) 在 \( x = -\frac{2}{3} \) 处有一个极值点。

由于二次函数只有一个顶点，且导数为线性函数，导数的零点只有一个，因此 \( f(x) \) 在实数域上只有一个极值点。

### 2. 求出该极值点，并讨论函数 \( f(x) \) 在该极值点附近的单调性。

通过上面的计算，我们知道函数的极值点是 \( x = -\frac{2}{3} \)。

接下来，我们需要分析 \( f(x) \) 在极值点附近的单调性。为此，我们检查导数的符号变化。

- 当 \( x < -\frac{2}{3} \)，\( f'(x) = 6x + 4 \)

已知函数f（x） = 3x^2 + 4x + 1，求证：
1.函数 f（x） 在实数域上只有一个极值点。
2. 求出该极值点，并讨论f（x）在该极值点附近的单调性。

Explore how to find the extreme point of the quadratic function f(x) = 3x^2 + 4x + 1. This problem involves calculating the derivative to identify the critical point and discussing the function's monotonicity near the extreme point. Suitable for high school students in Grades 10-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation