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Let's go through the tasks presented in the image.

### Aufgaben (Tasks):
1. **Bestimmen Sie die Extrempunkte (Hoch- und Tiefpunkt) von \( f(x) = \frac{1}{4}x^4 - \frac{2}{3}x^3 - \frac{7}{2}x^2 + 6x + 3 \). Gehen Sie wie folgt vor:**
    a) Leiten Sie die Funktion \( f(x) \) zweimal ab.  
    b) Setzen Sie die erste Ableitung gleich null und berechnen Sie die Extrema.  
    c) Überprüfen Sie mit der zweiten Ableitung, ob es sich um Hoch- oder Tiefpunkte handelt.

2. **Bestimmen Sie den Abszissenwert des Graphen an der Stelle \( x = 1 \).**

3. **Erläutern Sie, wie man aus der Grafik die Anzahl der Nullstellen bestimmen kann.**

### Lösung:
#### 1. Extrempunkte bestimmen:
Let's first solve for the extremum points of the given function.

**(a) Erste und zweite Ableitung:**
The given function is:

\[
f(x) = \frac{1}{4}x^4 - \frac{2}{3}x^3 - \frac{7}{2}x^2 + 6x + 3
\]

First derivative (\(f'(x)\)):

\[
f'(x) = x^3 - 2x^2 - 7x + 6
\]

Second derivative (\(f''(x)\)):

\[
f''(x) = 3x^2 - 4x - 7
\]

**(b) Nullstellen der ersten Ableitung:**
To find the critical points, set \(f'(x) = 0\):

\[
x^3 - 2x^2 - 7x + 6 = 0
\]

By solving this cubic equation, you would get the \(x\) values at which the extrema occur.

**(c) Bestimmung der Hoch- und Tiefpunkte:**
To check whether each critical point is a maximum or minimum, substitute the \(x\) values back into the second derivative \(f''(x)\). If \(f''(x) > 0\), it is a minimum (Tiefpunkt), and if \(f''(x) < 0\), it is a maximum (Hochpunkt).

#### 2. Abszissenwert bei \( x = 1 \):
To find the value of the function at \( x = 1 \):

\[
f(1) = \frac{1}{4}(1)^4 - \frac{2}{3}(1)^3 - \frac{7}{2}(1)^2 + 6(1) + 3
\]

Simplifying:

\[
f(1) = \frac{1}{4} - \frac{2}{3} - \frac{7}{2} + 6 + 3 \approx 6.4167
\]

So, \( f(1) \approx 6.4167 \).

#### 3. Anzahl der Nullstellen aus der Grafik:
To determine the number of zeros (Nullstellen) from the graph, observe the points where the curve crosses the x-axis. Each crossing represents a root or zero of the function. You would need to count these intersections to determine the total number of zeros.

### Do you want more detailed steps for solving the cubic equation or any other part? Or do you have any other questions?

### Related Questions:
1. How do you factor cubic equations to find their roots?
2. What is the significance of the second derivative in determining the nature of critical points?
3. How can you graphically interpret the sign of the second derivative?
4. What are other methods to determine the number of zeros of a polynomial?
5. How would you calculate the roots of a cubic polynomial using numerical methods?

**Tip:** Remember that the graphical approach can often give a quick estimation of the number of roots, but algebraic methods are necessary for precise calculation.

Berechnen Sie die Extrempunkte (Hoch- und Tiefpunkte) von f(x) = 1/4x^4 - 2/3x^3 - 7/2x^2 + 6x + 3. Bestimmen Sie auch den Abszissenwert bei x = 1 und erläutern Sie, wie man aus der Grafik die Anzahl der Nullstellen bestimmen kann.

This page provides a step-by-step solution to finding the extremum points of the polynomial function f(x) = 1/4x^4 - 2/3x^3 - 7/2x^2 + 6x + 3. Learn how to calculate the first and second derivatives, determine critical points, and identify the zeros from a graph. Suitable for Grade 12 and Pre-University students.

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