demuestre que la distancia entre puntos en un plano cartesiano cumple con las propiedades de una metrica

En un plano cartesiano, la distancia entre dos puntos se define generalmente utilizando la **distancia euclidiana**. Para demostrar que esta distancia cumple con las propiedades de una **métrica**, necesitamos verificar que cumple con las siguientes cuatro propiedades:

1. **No negatividad**: La distancia entre dos puntos es siempre mayor o igual a cero.
2. **Identidad de los indiscernibles**: La distancia entre dos puntos es cero si y solo si los puntos son idénticos.
3. **Simetría**: La distancia entre dos puntos es la misma en cualquier dirección.
4. **Desigualdad triangular**: La distancia entre dos puntos es siempre menor o igual a la suma de las distancias entre un tercer punto y esos dos puntos.

Vamos a demostrar que la distancia euclidiana cumple con estas propiedades.

### 1. No negatividad

Sean dos puntos \( A = (x_1, y_1) \) y \( B = (x_2, y_2) \) en el plano cartesiano. La **distancia euclidiana** \( d(A, B) \) entre estos dos puntos se define como:

\[
d(A, B) = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}
\]

Dado que tanto \( (x_2 - x_1)^2 \) como \( (y_2 - y_1)^2 \) son cuadrados de números reales, son siempre mayores o iguales a cero. La raíz cuadrada de un número no negativo también es un número no negativo. Por lo tanto, \( d(A, B) \geq 0 \).

### 2. Identidad de los indiscernibles

La distancia \( d(A, B) = 0 \) si y solo si \( \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} = 0 \). Para que la raíz cuadrada sea cero, es necesario que \( (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 = 0 \).

Como \( (x_2 - x_1)^2 \geq 0 \) y \( (y_2 - y_1)^2 \geq 0 \), la única forma en que la suma de estos dos términos sea cero es si \( (x_2 - x_1)^2 = 0 \) y \( (y_2 - y_1)^2 = 0 \). Esto ocurre solo si \( x_2 = x_1 \) y \( y_2 = y_1 \), es decir, \( A \) y \( B \) son el mismo punto. Por lo tanto, \( d(A, B) = 0 \) si y solo si \( A = B \).

### 3. Simetría

La distancia euclidiana es simétrica, lo cual significa que \( d(A, B) = d(B, A) \). 

Consideremos:

\[
d(A, B) = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}
\]

y

\[
d(B, A) = \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2}
\]

Notamos que \( (x_2 - x_1)^2 = (x_1 - x_2)^2 \) y \( (y_2 - y_1)^2 = (y_1 - y_2)^2 \) debido a que los cuadrados de los números son iguales independientemente del orden. Por lo tanto, \( d(A, B) = d(B, A) \).

### 4. Desigualdad triangular

Para cualquier tres puntos \( A = (x_1, y_1) \), \( B = (x_2, y_2) \), y \( C = (x_3, y_3) \) en el plano, la distancia euclidiana debe satisfacer la desigualdad triangular:

\[
d(A, C) \leq d(A, B) + d(B, C)
\]

Calculamos cada distancia:

\[
d(A, B) = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}
\]
\[
d(B, C) = \sqrt{(x_3 - x_2)^2 + (y_3 - y_2)^2}
\]
\[
d(A, C) = \sqrt{(x_3 - x_1)^2 + (y_3 - y_1)^2}
\]

Aplicamos la **desigualdad de Cauchy-Schwarz** en el espacio euclidiano:

\[
|x_3 - x_1| \leq |x_3 - x_2| + |x_2 - x_1| 
\]
\[
|y_3 - y_1| \leq |y_3 - y_2| + |y_2 - y_1|
\]

Elevando ambos lados al cuadrado y sumando las desigualdades:

\[
(x_3 - x_1)^2 + (y_3 - y_1)^2 \leq \left((x_3 - x_2) + (x_2 - x_1)\right)^2 + \left((y_3 - y_2) + (y_2 - y_1)\right)^2
\]

Dado que la raíz cuadrada es una función creciente:

\[
\sqrt{(x_3 - x_1)^2 + (y_3 - y_1)^2} \leq \sqrt{((x_3 - x_2) + (x_2 - x_1))^2 + ((y_3 - y_2) + (y_2 - y_1))^2}
\]

Esto demuestra que:

\[
d(A, C) \leq d(A, B) + d(B, C)
\]

Por lo tanto, la distancia euclidiana satisface la desigualdad triangular.

### Conclusión

Dado que la distancia euclidiana cumple con las propiedades de no negatividad, identidad de los indiscernibles, simetría y desigualdad triangular, podemos concluir que es una **métrica** en el plano cartesiano.

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta?

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Aquí hay algunas preguntas relacionadas para ampliar el tema:

1. ¿Cómo se demuestra que la distancia de Manhattan también es una métrica?
2. ¿Cómo se pueden generalizar estas propiedades para espacios de dimensiones superiores?
3. ¿Qué otras funciones de distancia cumplen con las propiedades de una métrica?
4. ¿Cómo afecta la topología del espacio a la definición de una métrica?
5. ¿Es posible definir una métrica en un espacio no euclidiano?

**Tip:** Al estudiar diferentes métricas, ten en cuenta cómo cambian las propiedades de los espacios métricos y sus aplicaciones.

Explore how the Euclidean distance between points in a Cartesian plane satisfies the properties of a metric. This detailed explanation covers non-negativity, identity of indiscernibles, symmetry, and triangular inequality proofs. Suitable for advanced mathematics students.

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