Tenemos 144 depósitos de forma cilíndrica, de 30 centímetros de diámetro, y 10 centímetros de altura, llenos de aceite. También tenemos un depósito de forma cónica, cuyo radio base mide 900 centímetros. Si queremos vaciar todo el aceite en el depósito cónico, ¿qué altura debe tener dicho depósito para que esté completamente lleno? 

Para resolver este problema, necesitamos comparar los volúmenes del aceite en los depósitos cilíndricos con el volumen del depósito cónico y determinar la altura del cono necesaria para contener todo el aceite.

**1. Volumen de los cilindros:**

El volumen de un solo cilindro se calcula con la fórmula:

\[
V_{\text{cilindro}} = \pi r^2 h
\]

donde:
- \(r\) es el radio de la base del cilindro.
- \(h\) es la altura del cilindro.

El radio del cilindro es la mitad del diámetro, es decir, \(r = \frac{30}{2} = 15\) cm, y la altura \(h = 10\) cm. Entonces, el volumen de un cilindro es:

\[
V_{\text{cilindro}} = \pi \times (15)^2 \times 10 = \pi \times 225 \times 10 = 2250\pi \, \text{cm}^3
\]

Como hay 144 cilindros, el volumen total de aceite es:

\[
V_{\text{total\ cilindros}} = 144 \times 2250\pi = 324000\pi \, \text{cm}^3
\]

**2. Volumen del cono:**

El volumen de un cono se calcula con la fórmula:

\[
V_{\text{cono}} = \frac{1}{3} \pi r^2 h
\]

donde:
- \(r\) es el radio de la base del cono (900 cm).
- \(h\) es la altura que necesitamos encontrar.

El volumen total de aceite es igual al volumen del cono, por lo que:

\[
324000\pi = \frac{1}{3} \pi \times (900)^2 \times h
\]

Podemos simplificar eliminando \(\pi\) de ambos lados de la ecuación:

\[
324000 = \frac{1}{3} \times 810000 \times h
\]

\[
324000 = 270000 \times h
\]

Finalmente, despejamos \(h\):

\[
h = \frac{324000}{270000} = \frac{324}{270} = \frac{6}{5} = 1.2 \, \text{cm}
\]

**Respuesta:** La altura del depósito cónico debe ser de 1.2 centímetros para que esté completamente lleno con todo el aceite de los 144 cilindros.

¿Te gustaría detalles adicionales o tienes alguna pregunta?

Aquí tienes 5 preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se calcula el volumen de un cilindro con diferentes dimensiones?
2. ¿Qué sucede con el volumen si duplicamos el radio de la base de un cono?
3. ¿Cómo cambiaría la altura si el número de cilindros aumentara?
4. ¿Qué ocurre si el depósito cónico tiene una base elíptica en lugar de circular?
5. ¿Cómo se relaciona la altura de un cilindro con su volumen, manteniendo el radio constante?

**Tip:** Al resolver problemas de volumen, es crucial trabajar con unidades consistentes para evitar errores.

Descubre cómo calcular la altura necesaria de un depósito cónico para contener todo el aceite de 144 cilindros de 30 cm de diámetro y 10 cm de altura. Este problema involucra cálculos de volumen geométrico, utilizando fórmulas para cilindros y conos. Adecuado para estudiantes de secundaria.

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