Maintenant le module et l'argument du chaque point

Pour déterminer le module et l'argument de chaque point (A, B, C, D), nous utiliserons les coordonnées des points et les formules correspondantes.

### 1. Module et Argument du point A(-2, 2)
- **Module** : Le module \( r \) d'un point \( (x, y) \) est donné par :

\[
r_A = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{(-2)^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}
\]

- **Argument** : L'argument \( \theta \) est donné par :

\[
\theta_A = \text{atan2}(y, x) = \text{atan2}(2, -2) = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} \text{ radians} \quad \text{ou} \quad 135^\circ
\]

### 2. Module et Argument du point B
Les coordonnées de B que nous avons trouvées précédemment sont \( \left(-1 + \sqrt{3}, \sqrt{3} + 1 \right) \).

- **Module** :

\[
r_B = \sqrt{\left(-1 + \sqrt{3}\right)^2 + \left(\sqrt{3} + 1\right)^2}
\]

Calculons chaque terme séparément :

\[
(-1 + \sqrt{3})^2 = 1 - 2\sqrt{3} + 3 = 4 - 2\sqrt{3}
\]
\[
(\sqrt{3} + 1)^2 = 3 + 2\sqrt{3} + 1 = 4 + 2\sqrt{3}
\]

\[
r_B = \sqrt{(4 - 2\sqrt{3}) + (4 + 2\sqrt{3})} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}
\]

- **Argument** :

\[
\theta_B = \text{atan2}\left(\sqrt{3} + 1, -1 + \sqrt{3}\right)
\]

Comme les coordonnées sont complexes à manipuler directement, l'argument exact dépend des fonctions trigonométriques précises, mais pour une réponse exacte, il vaut mieux l'exprimer sous cette forme. En général, une évaluation numérique pourrait être utilisée.

### 3. Module et Argument du point C(2, 0)
- **Module** :

\[
r_C = \sqrt{2^2 + 0^2} = \sqrt{4} = 2
\]

- **Argument** :

\[
\theta_C = \text{atan2}(0, 2) = 0 \text{ radians} \quad \text{ou} \quad 0^\circ
\]

### 4. Module et Argument du point D(-1, 1)
- **Module** :

\[
r_D = \sqrt{(-1)^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}
\]

- **Argument** :

\[
\theta_D = \text{atan2}(1, -1) = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} \text{ radians} \quad \text{ou} \quad 135^\circ
\]

### Conclusion :
- **A(-2, 2)** : Module = \(2\sqrt{2}\), Argument = \(135^\circ\)
- **B(-1 + \(\sqrt{3}\), \(\sqrt{3}\) + 1)** : Module = \(2\sqrt{2}\), Argument = (à calculer numériquement pour une valeur précise)
- **C(2, 0)** : Module = 2, Argument = \(0^\circ\)
- **D(-1, 1)** : Module = \(\sqrt{2}\), Argument = \(135^\circ\)

Avez-vous des questions ou voulez-vous plus de détails ?

### Questions associées :
1. Comment exprimer l'argument d'un point sous forme radian ?
2. Quelle est la différence entre les radians et les degrés pour exprimer un angle ?
3. Comment calculer les arguments pour des points dans différents quadrants ?
4. Comment utiliser les coordonnées polaires dans des applications géométriques ?
5. Quelle est l'utilité de transformer des points cartésiens en coordonnées polaires ?

### Conseil :
Le module d'un point représente sa distance à l'origine, tandis que l'argument représente l'angle formé avec l'axe des abscisses, ce qui est essentiel pour les calculs en trigonométrie et géométrie.

Understand how to calculate the module (magnitude) and argument of points in Cartesian coordinates using detailed step-by-step examples. This problem involves complex numbers, polar coordinates, and trigonometry, suitable for advanced high school students.

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