Si  ﻿y igual fracción numerador x entre denominador x más 1 fin fracción﻿ determine ﻿y apóstrofo apóstrofo﻿ 


﻿y apóstrofo apóstrofo igual fracción numerador 1 entre denominador 2 paréntesis izquierdo x más 1 paréntesis derecho fin fracción﻿


﻿y apóstrofo apóstrofo igual fracción numerador menos 2 entre denominador paréntesis izquierdo x más 1 paréntesis derecho al cubo fin fracción﻿


﻿y apóstrofo apóstrofo igual 0﻿


﻿y apóstrofo apóstrofo igual fracción numerador 1 entre denominador paréntesis izquierdo x más 1 paréntesis derecho al cuadrado fin fracción﻿

Para resolver este problema, consideremos la función \( y \) dada por:

\[
y = \frac{x}{x+1}
\]

Queremos determinar la segunda derivada de \( y \), es decir, \( y'' \).

### Paso 1: Primera derivada (\( y' \))
Primero, calculamos la primera derivada \( y' \) utilizando la regla del cociente:

\[
y' = \frac{(x+1)(1) - (x)(1)}{(x+1)^2} = \frac{x+1 - x}{(x+1)^2} = \frac{1}{(x+1)^2}
\]

### Paso 2: Segunda derivada (\( y'' \))
Ahora, derivamos nuevamente para obtener \( y'' \):

\[
y'' = \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{(x+1)^2} \right)
\]

Utilizando la regla de la cadena:

\[
y'' = \frac{d}{dx} \left( (x+1)^{-2} \right) = -2(x+1)^{-3} \cdot 1 = \frac{-2}{(x+1)^3}
\]

### Respuesta
La segunda derivada \( y'' \) es:

\[
y'' = \frac{-2}{(x+1)^3}
\]

Por lo tanto, la opción correcta es:

\[
y'' = \frac{-2}{(x+1)^3}
\]

¿Te gustaría detalles adicionales o tienes alguna pregunta sobre este proceso?

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**Preguntas Relacionadas:**

1. ¿Cómo se aplica la regla del cociente para derivar funciones?
2. ¿Cuál es la importancia de la segunda derivada en el análisis de funciones?
3. ¿Qué significa un resultado negativo para la segunda derivada?
4. ¿Cómo se interpretan las derivadas de orden superior en el contexto de la concavidad?
5. ¿Qué otros métodos existen para calcular derivadas además de la regla del cociente?

**Tip:** La segunda derivada de una función te da información sobre la concavidad de la función, es decir, si la curva está cóncava hacia arriba o hacia abajo en un intervalo determinado.

Learn how to calculate the second derivative of the function y = x/(x+1). This problem involves differentiation using the quotient rule and chain rule, essential in calculus studies. Suitable for advanced high school or college students.

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