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podrías ayudarme con este problema de matrices 

Para resolver este sistema de ecuaciones lineales y encontrar el valor de \( k \) que permita tener soluciones no triviales, necesitamos trabajar con el concepto de determinante de la matriz asociada. Las soluciones no triviales ocurren cuando el determinante de la matriz de coeficientes es igual a cero.

Primero, identifiquemos la matriz de coeficientes del sistema:

\[
A = \begin{pmatrix}
2 & -3 & 5 \\
-1 & 7 & -1 \\
4 & -11 & k
\end{pmatrix}
\]

Ahora, vamos a calcular el determinante de esta matriz:

\[
\text{Det}(A) = \begin{vmatrix}
2 & -3 & 5 \\
-1 & 7 & -1 \\
4 & -11 & k
\end{vmatrix}
\]

Para un determinante de una matriz \(3 \times 3\), usamos la regla de Sarrus o cofactores. Expandiendo por la primera fila:

\[
\text{Det}(A) = 2 \cdot \begin{vmatrix} 7 & -1 \\ -11 & k \end{vmatrix} - (-3) \cdot \begin{vmatrix} -1 & -1 \\ 4 & k \end{vmatrix} + 5 \cdot \begin{vmatrix} -1 & 7 \\ 4 & -11 \end{vmatrix}
\]

Cada uno de estos determinantes \(2 \times 2\) se calcula como:

\[
\begin{vmatrix} 7 & -1 \\ -11 & k \end{vmatrix} = 7k - (-11)(-1) = 7k - 11
\]

\[
\begin{vmatrix} -1 & -1 \\ 4 & k \end{vmatrix} = (-1)k - (-1)(4) = -k + 4
\]

\[
\begin{vmatrix} -1 & 7 \\ 4 & -11 \end{vmatrix} = (-1)(-11) - (7)(4) = 11 - 28 = -17
\]

Sustituyendo estos valores en la expresión del determinante:

\[
\text{Det}(A) = 2(7k - 11) + 3(-k + 4) + 5(-17)
\]

Simplificamos:

\[
\text{Det}(A) = 14k - 22 - 3k + 12 - 85 = 11k - 95
\]

Para que existan soluciones no triviales, el determinante debe ser cero:

\[
11k - 95 = 0
\]

Resolviendo para \( k \):

\[
11k = 95
\]
\[
k = \frac{95}{11} = 8.636
\]

Entonces, el valor de \( k \) para el cual el sistema tiene soluciones no triviales es \( k = \frac{95}{11} \).

¿Te gustaría algún detalle adicional sobre los pasos? ¿Tienes alguna pregunta? 

Aquí tienes algunas preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se calcula un determinante \( 2 \times 2 \)?
2. ¿Qué significa que el determinante sea igual a cero?
3. ¿Qué otros métodos existen para resolver sistemas de ecuaciones lineales?
4. ¿Cómo se usa la regla de Sarrus en matrices \( 3 \times 3 \)?
5. ¿Qué representa una solución trivial en un sistema de ecuaciones lineales?

**Tip:** Siempre es útil verificar los cálculos de determinantes, especialmente cuando se trabaja con variables, para asegurar que no haya errores.

Learn how to solve a system of linear equations using matrices and determinants with a detailed step-by-step solution. This problem involves calculating the determinant of a 3x3 matrix to find the value of k for non-trivial solutions. Suitable for high school students studying algebra and matrices.

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