Fuerza resultante Tres fuerzas de magnitudes de 400 new-
tons, 280 newtons y 350 newtons, actúan sobre un objeto a

ángulos de 30°, 45° y 135°, respectivamente, con el eje x po-
sitivo. Hallar la dirección y la magnitud de la fuerza resultante.

Para encontrar la dirección y la magnitud de la fuerza resultante cuando tres fuerzas actúan sobre un objeto, podemos descomponer cada fuerza en sus componentes \(x\) e \(y\), sumar las componentes y luego usar estas sumas para calcular la magnitud y la dirección de la fuerza resultante.

### Paso 1: Descomponer cada fuerza en sus componentes \(x\) e \(y\)
Las fuerzas tienen magnitudes de \(400 \, \text{N}\), \(280 \, \text{N}\), y \(350 \, \text{N}\), y están dirigidas en ángulos de \(30^\circ\), \(45^\circ\), y \(135^\circ\) con respecto al eje \(x\) positivo.

Para cada fuerza \(F_i\), las componentes \(x\) e \(y\) se calculan de la siguiente manera:
\[
F_{i_x} = F_i \cdot \cos(\theta_i)
\]
\[
F_{i_y} = F_i \cdot \sin(\theta_i)
\]

### Para la fuerza \(F_1 = 400 \, \text{N}\) y \(\theta_1 = 30^\circ\):
\[
F_{1_x} = 400 \cdot \cos(30^\circ) = 400 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 346.41 \, \text{N}
\]
\[
F_{1_y} = 400 \cdot \sin(30^\circ) = 400 \cdot \frac{1}{2} = 200 \, \text{N}
\]

### Para la fuerza \(F_2 = 280 \, \text{N}\) y \(\theta_2 = 45^\circ\):
\[
F_{2_x} = 280 \cdot \cos(45^\circ) = 280 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 197.99 \, \text{N}
\]
\[
F_{2_y} = 280 \cdot \sin(45^\circ) = 280 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 197.99 \, \text{N}
\]

### Para la fuerza \(F_3 = 350 \, \text{N}\) y \(\theta_3 = 135^\circ\):
\[
F_{3_x} = 350 \cdot \cos(135^\circ) = 350 \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \approx -247.49 \, \text{N}
\]
\[
F_{3_y} = 350 \cdot \sin(135^\circ) = 350 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 247.49 \, \text{N}
\]

### Paso 2: Sumar las componentes \(x\) e \(y\)
Ahora sumamos las componentes en \(x\) e \(y\) para obtener las componentes de la fuerza resultante \(R\).

\[
R_x = F_{1_x} + F_{2_x} + F_{3_x} = 346.41 + 197.99 - 247.49 \approx 296.91 \, \text{N}
\]
\[
R_y = F_{1_y} + F_{2_y} + F_{3_y} = 200 + 197.99 + 247.49 \approx 645.48 \, \text{N}
\]

### Paso 3: Calcular la magnitud de la fuerza resultante
La magnitud de la fuerza resultante \(R\) se calcula usando el teorema de Pitágoras:

\[
R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2} = \sqrt{(296.91)^2 + (645.48)^2} \approx 709.86 \, \text{N}
\]

### Paso 4: Calcular la dirección de la fuerza resultante
La dirección \(\theta_R\) de la fuerza resultante se calcula usando la tangente inversa:

\[
\theta_R = \tan^{-1}\left(\frac{R_y}{R_x}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{645.48}{296.91}\right) \approx 65.30^\circ
\]

### Resumen:
- **Magnitud de la fuerza resultante**: \(R \approx 709.86 \, \text{N}\)
- **Dirección de la fuerza resultante**: \(\theta_R \approx 65.30^\circ\) con respecto al eje \(x\) positivo.

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta?

---

**Preguntas relacionadas:**
1. ¿Cómo afecta el ángulo de las fuerzas en la dirección de la fuerza resultante?
2. ¿Qué ocurre si dos fuerzas tienen la misma magnitud pero ángulos opuestos?
3. ¿Cómo se resolvería el problema si una de las fuerzas fuera perpendicular a otra?
4. ¿Qué métodos alternativos existen para encontrar la magnitud y dirección de la fuerza resultante?
5. ¿Qué importancia tiene la descomposición en componentes en problemas de fuerzas?

**Consejo:** Siempre descompón las fuerzas en sus componentes para simplificar el cálculo de la fuerza resultante.

Learn how to calculate the magnitude and direction of the resultant force when three forces with specified magnitudes and angles act on an object. Detailed step-by-step solution using vector decomposition and trigonometric functions.

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