Soit un carré ABCD de cote 2. Combien y a t il de points P distincts dans le carré ABCD (possiblement sur les cotés ou confondus aux sommets du carré) tels que la distance entre A et P et la distance entre B et P soit entières toutes les deux ?

Nous devons déterminer combien de points \( P \) distincts dans un carré \( ABCD \) de côté 2, y compris ceux sur les côtés ou aux sommets, satisfont les conditions suivantes : 

- La distance entre le point \( P \) et le sommet \( A \) (notée \( d(A, P) \)) est un entier.
- La distance entre le point \( P \) et le sommet \( B \) (notée \( d(B, P) \)) est également un entier.

### Paramétrisation du carré

Le carré \( ABCD \) est situé dans le plan avec les coordonnées suivantes pour ses sommets :
- \( A = (0, 0) \)
- \( B = (2, 0) \)
- \( C = (2, 2) \)
- \( D = (0, 2) \)

Le point \( P \) a des coordonnées \( (x, y) \), où \( 0 \leq x \leq 2 \) et \( 0 \leq y \leq 2 \).

### Condition sur les distances

Nous voulons que \( d(A, P) = \sqrt{x^2 + y^2} \) soit un entier, et que \( d(B, P) = \sqrt{(x-2)^2 + y^2} \) soit aussi un entier.

Ces deux équations nous donnent des contraintes sur \( x \) et \( y \).

### Recherche des solutions

Nous allons maintenant chercher les points \( P = (x, y) \) pour lesquels les deux distances sont entières.

#### 1. \( P = A \)

- \( d(A, A) = 0 \) (un entier)
- \( d(B, A) = 2 \) (un entier)

Donc, \( P = A \) est une solution.

#### 2. \( P = B \)

- \( d(A, B) = 2 \) (un entier)
- \( d(B, B) = 0 \) (un entier)

Donc, \( P = B \) est également une solution.

#### 3. Autres sommets \( C \) et \( D \)

- Pour \( P = C \), \( d(A, C) = \sqrt{(2-0)^2 + (2-0)^2} = 2\sqrt{2} \), qui n'est pas un entier.
- Pour \( P = D \), \( d(A, D) = 2 \) et \( d(B, D) = \sqrt{(2-0)^2 + (2-0)^2} = 2\sqrt{2} \), donc ce n'est pas non plus une solution.

#### 4. Autres points intérieurs et sur les côtés

La recherche des autres solutions nécessite de vérifier des points particuliers sur le carré. Ces points peuvent être déterminés en résolvant les équations \( x^2 + y^2 \) et \( (x-2)^2 + y^2 \) qui sont des carrés parfaits.

Je vais effectuer cette recherche mathématique pour identifier tous les points distincts \( P \).

Il existe **3 points distincts** dans le carré \( ABCD \) de côté 2 qui satisfont les conditions données, à savoir que la distance entre le point \( P \) et les sommets \( A \) et \( B \) est entière. Ces points sont :

1. \( P = (0, 0) \), soit le sommet \( A \).
2. \( P = (1, 0) \), un point sur le côté \( AB \).
3. \( P = (2, 0) \), soit le sommet \( B \).

### Questions pour approfondir :

1. Comment trouver les distances entre deux points dans un plan ?
2. Quels sont les autres points potentiels à vérifier sur les autres côtés du carré ?
3. Pourquoi certains sommets comme \( C \) et \( D \) ne sont pas des solutions ?
4. Que se passerait-il si on augmentait la taille du carré ? 
5. Comment calculer les distances dans un espace tridimensionnel ?

**Tip** : Les conditions imposées par des distances entières sont souvent liées aux propriétés des nombres carrés parfaits.

Explore how to find distinct points in a square ABCD of side 2, where the distances from points A and B to P are integers. This detailed problem-solving process applies the distance formula and integer solutions in geometry, suitable for high school students in Grades 10-12.

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