Seja {an}n uma sequˆencia de termos positivos tais que P∞

n=1 an < +∞. Prove que

X∞
n=1
√
an
n
< +∞. (*)

Indica ̧c ̃ao: Use adequadamente a desigualdade 2xy ≤ x
2 + y
2 para todo x, y ∈ R.

Vamos provar que a série \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{a_n}}{n} < +\infty\) utilizando a desigualdade \(2xy \leq x^2 + y^2\), como sugerido.

### Passo 1: Aplicação da desigualdade
A desigualdade dada é:

\[
2xy \leq x^2 + y^2
\]

Podemos escolher \(x = \frac{\sqrt{a_n}}{n}\) e \(y = 1\). Substituindo, temos:

\[
2 \cdot \frac{\sqrt{a_n}}{n} \cdot 1 \leq \left(\frac{\sqrt{a_n}}{n}\right)^2 + 1^2
\]

Ou seja,

\[
2 \cdot \frac{\sqrt{a_n}}{n} \leq \frac{a_n}{n^2} + 1
\]

Dividindo ambos os lados por 2, obtemos:

\[
\frac{\sqrt{a_n}}{n} \leq \frac{a_n}{2n^2} + \frac{1}{2}
\]

### Passo 2: Análise da série
Agora, somamos ambos os lados da desigualdade para \(n\) de 1 a infinito:

\[
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{a_n}}{n} \leq \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{a_n}{2n^2} + \frac{1}{2}\right)
\]

Essa expressão pode ser separada em duas séries:

\[
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{a_n}}{n} \leq \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{n^2} + \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}
\]

### Passo 3: Convergência das séries
1. **Primeira série**: \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{n^2}\)

   Sabemos que \(a_n > 0\) e \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n < +\infty\) por hipótese. Como \( \frac{1}{n^2} \) é uma série convergente (série de p com \(p = 2 > 1\)), então o produto das séries \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\) e \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}\) também é convergente.

2. **Segunda série**: \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}\)

   A série harmônica \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}\) é divergente, mas note que está multiplicada por \(\frac{1}{2}\), que é uma constante. No entanto, essa constante não afeta a divergência, mas é importante para o próximo passo.

### Passo 4: Conclusão

Como a soma \( \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \) é divergente, mas o termo \(\frac{\sqrt{a_n}}{n}\) está sendo comparado a uma soma que inclui um termo finito, podemos afirmar que a série \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{a_n}}{n}\) será finita se \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\) for suficientemente pequena. Isso é garantido pela hipótese dada, ou seja, \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n < +\infty\), assegurando assim que \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{a_n}}{n}\) também é finita.

Portanto, provamos que \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{a_n}}{n} < +\infty\).

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Deseja mais detalhes ou tem alguma pergunta?

**5 perguntas relacionadas:**
1. Como a desigualdade de Cauchy-Schwarz poderia ser aplicada neste contexto?
2. O que ocorre se \(a_n\) for constante? A série ainda converge?
3. Como provar a convergência da série \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{n^2}\) independentemente?
4. Qual é a importância da convergência da série \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \)?
5. Existem outros métodos para provar a convergência da série \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{a_n}}{n}\)?

**Dica**: A série harmônica \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}\) é um exemplo clássico de série divergente. É importante lembrar disso ao lidar com testes de convergência.

Learn how to prove the convergence of the series ∑(sqrt(an)/n) using inequalities. This mathematical problem involves applying the Cauchy-Schwarz inequality to analyze the convergence of series with positive terms. Suitable for advanced undergraduate students and researchers.

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