Determine una ecuación para la recta que cumple con- las condiciones dadas                            
        Pasa por el punto de intersección de las rectas x-2y-6=0 y 3x-5y-8=0 y es paralela a la recta x-3y+1=0

Para determinar la ecuación de la recta que cumple con las condiciones dadas, seguiremos estos pasos:

### 1. Encuentra el punto de intersección de las dos rectas dadas.

Las rectas son:
\[
x - 2y - 6 = 0
\]
\[
3x - 5y - 8 = 0
\]

Resolvemos este sistema de ecuaciones simultáneas:

Multiplicamos la primera ecuación por 3:
\[
3x - 6y - 18 = 0 \quad \text{(Ecuación 1')}
\]

Ahora restamos la ecuación 2 de la ecuación 1' para eliminar \(x\):
\[
(3x - 6y - 18) - (3x - 5y - 8) = 0
\]
\[
-6y + 5y - 18 + 8 = 0
\]
\[
-y - 10 = 0
\]
\[
y = -10
\]

Sustituimos \(y = -10\) en una de las ecuaciones originales, por ejemplo, en \(x - 2y - 6 = 0\):
\[
x - 2(-10) - 6 = 0
\]
\[
x + 20 - 6 = 0
\]
\[
x = -14
\]

El punto de intersección es \((-14, -10)\).

### 2. Determina la ecuación de la recta paralela.

La recta a la que debe ser paralela tiene la ecuación:
\[
x - 3y + 1 = 0
\]

Las rectas paralelas tienen la misma pendiente. La ecuación de la recta en forma general es \(Ax + By + C = 0\). En este caso, la pendiente de la recta dada es \(\frac{-A}{B} = \frac{1}{-3}\).

Por lo tanto, la recta buscada tendrá la misma forma general:
\[
x - 3y + C = 0
\]

### 3. Encuentra el valor de \(C\).

Sustituimos el punto \((-14, -10)\) en la ecuación:
\[
-14 - 3(-10) + C = 0
\]
\[
-14 + 30 + C = 0
\]
\[
C = -16
\]

### 4. Ecuación final de la recta

La ecuación de la recta que pasa por el punto de intersección de las dos primeras rectas y es paralela a la tercera es:
\[
x - 3y - 16 = 0
\]

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta?

### Preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se encuentra la pendiente de una recta dada su ecuación?
2. ¿Qué significa que dos rectas sean paralelas en términos de sus pendientes?
3. ¿Cómo se puede verificar si un punto pertenece a una recta?
4. ¿Cuál es la forma general de la ecuación de una recta?
5. ¿Cómo se resuelven sistemas de ecuaciones lineales usando el método de eliminación?

### Consejo:
Siempre verifica tus soluciones sustituyendo los valores encontrados en la ecuación original para confirmar que sean correctos.

Learn how to determine the equation of a line passing through the intersection point of two given lines and parallel to a specified line. This problem involves solving simultaneous linear equations, finding the slope of parallel lines, and applying coordinate geometry concepts. Suitable for Grades 10-12.

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